Задание №23 — Геометрия

Решение.

1) Рассмотрим параллелограмм $ABCD$. По условию $AK$ — биссектриса угла $A$. Это значит, что она делит угол $A$ на два равных угла: $\angle BAK = \angle KAD$.

2) Стороны $BC$ и $AD$ параллелограмма параллельны ($BC \parallel AD$). При пересечении этих параллельных прямых секущей $AK$ образуются накрест лежащие углы, которые равны между собой. Таким образом, $\angle KAD = \angle BKA$.

3) Теперь посмотрим на треугольник $ABK$. Мы выяснили, что $\angle BAK = \angle KAD$ (так как $AK$ — биссектриса) и $\angle KAD = \angle BKA$ (как накрест лежащие). Следовательно, $\angle BAK = \angle BKA$.

4) Так как в треугольнике $ABK$ два угла равны, этот треугольник является равнобедренным с основанием $AK$. В равнобедренном треугольнике боковые стороны равны, значит, $AB = BK$. По условию $BK = 7$, следовательно, $AB = 7$.

5) Найдем длину стороны $BC$. Точка $K$ лежит на этой стороне и делит её на отрезки $BK = 7$ и $CK = 12$. Тогда:
$BC = BK + CK = 7 + 12 = 19$.

6) В параллелограмме противоположные стороны равны: $AB = CD = 7$ и $BC = AD = 19$. Периметр параллелограмма ($P$) вычисляется как удвоенная сумма его смежных сторон:
$P = 2 \cdot (AB + BC)$
$P = 2 \cdot (7 + 19) = 2 \cdot 26 = 52$.

Ответ: 52

Источник: ФИПИ