Задание №23 — Геометрия

Решение.

1. Рассмотрим углы $A$ и $B$ трапеции $ABCD$. По свойству трапеции, сумма углов, прилежащих к боковой стороне, равна $180^{\circ}$, так как они являются односторонними при параллельных прямых $AD$ и $BC$ и секущей $AB$. Таким образом, $\angle A + \angle B = 180^{\circ}$.

2. По условию задачи $AF$ и $BF$ — биссектрисы углов $A$ и $B$. Значит, $\angle FAB = \frac{1}{2} \angle A$ и $\angle FBA = \frac{1}{2} \angle B$.

3. Рассмотрим треугольник $ABF$. Сумма его углов $\angle FAB$ и $\angle FBA$ равна:
$\angle FAB + \angle FBA = \frac{1}{2} \angle A + \frac{1}{2} \angle B = \frac{1}{2} (\angle A + \angle B) = \frac{1}{2} \cdot 180^{\circ} = 90^{\circ}$.

4. Так как сумма двух углов треугольника $ABF$ равна $90^{\circ}$, то третий угол $\angle AFB = 180^{\circ} - 90^{\circ} = 90^{\circ}$. Следовательно, треугольник $ABF$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $F$.

5. В прямоугольном треугольнике $ABF$ сторона $AB$ является гипотенузой. По теореме Пифагора:
$AB^2 = AF^2 + BF^2$.

6. Подставим известные значения $AF = 32$ и $BF = 24$:
$AB^2 = 32^2 + 24^2$
$AB^2 = 1024 + 576$
$AB^2 = 1600$.

7. Находим длину стороны $AB$:
$AB = \sqrt{1600} = 40$.

Ответ: 40

Источник: ФИПИ