Задание №23 — Геометрия

Решение.

Пусть в прямоугольном треугольнике $ABC$ угол $C = 90^\circ$. Обозначим известный катет $AC = 35$, а гипотенузу $AB = 125$. Нам необходимо найти высоту $CH$, проведённую к гипотенузе.

Шаг 1. Найдём второй катет треугольника.
Воспользуемся теоремой Пифагора: сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы.
$AC^2 + BC^2 = AB^2$
Подставим известные значения:
$35^2 + BC^2 = 125^2$
$1225 + BC^2 = 15625$
$BC^2 = 15625 - 1225$
$BC^2 = 14400$
Отсюда $BC = \sqrt{14400} = 120$.

Шаг 2. Найдём площадь треугольника.
Площадь прямоугольного треугольника можно вычислить как половину произведения его катетов:
$S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BC$
$S = \frac{1}{2} \cdot 35 \cdot 120 = 35 \cdot 60 = 2100$.

Шаг 3. Найдём высоту через площадь.
С другой стороны, площадь любого треугольника равна половине произведения его основания на высоту, проведённую к этому основанию. В нашем случае основанием является гипотенуза $AB$, а высотой — $CH$:
$S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot CH$
Подставим значение площади и гипотенузы:
$2100 = \frac{1}{2} \cdot 125 \cdot CH$
$2100 = 62,5 \cdot CH$
$CH = \frac{2100}{62,5}$
Для удобства вычисления умножим числитель и знаменатель на 10:
$CH = \frac{21000}{625} = 33,6$.

Ответ: 33,6

Источник: ФИПИ