Задание №23 — Геометрия

Решение.

1. Пусть $ABCD$ — данный ромб, $O$ — точка пересечения его диагоналей. По свойствам ромба диагонали взаимно перпендикулярны ($AC \perp BD$) и точкой пересечения делятся пополам. Пусть диагональ $BD = 44$. Тогда $BO = OD = 44 : 2 = 22$.

2. Расстояние от точки до прямой — это длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на прямую. Проведём из точки $O$ перпендикуляр $OH$ к стороне $AB$. По условию $OH = 11$.

3. Рассмотрим прямоугольный треугольник $BOH$ (угол $H = 90^\circ$). В этом треугольнике сторона $OH$ является катетом, а сторона $BO$ — гипотенузой. Заметим, что катет $OH = 11$, а гипотенуза $BO = 22$. Так как катет в два раза меньше гипотенузы ($11 = 22 : 2$), то по свойству прямоугольного треугольника угол, лежащий против этого катета, равен $30^\circ$. Следовательно, $\angle OBH = 30^\circ$.

4. Диагонали ромба являются биссектрисами его углов. Значит, угол $B$ ромба в два раза больше угла $OBH$:
$\angle ABC = 2 \cdot \angle OBH = 2 \cdot 30^\circ = 60^\circ$.

5. Сумма углов ромба, прилежащих к одной стороне, равна $180^\circ$. Найдём второй угол ромба (угол $A$):
$\angle BAD = 180^\circ - \angle ABC = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$.

6. Противолежащие углы ромба равны, поэтому углы ромба равны $60^\circ, 120^\circ, 60^\circ, 120^\circ$.

Ответ: 60^\circ, 120^\circ.

Источник: ФИПИ