Задание №23 — Геометрия

Решение.

1. Пусть дан прямоугольный треугольник с катетами $a = 10$ и $b = 24$. Обозначим гипотенузу как $c$, а высоту, проведённую к ней, как $h$.

2. Сначала найдём гипотенузу треугольника по теореме Пифагора: $c^2 = a^2 + b^2$.
Подставим значения катетов:
$c^2 = 10^2 + 24^2$
$c^2 = 100 + 576$
$c^2 = 676$
$c = \sqrt{676} = 26$.

3. Вспомним формулу площади прямоугольного треугольника. Её можно вычислить двумя способами:
— через катеты: $S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b$;
— через гипотенузу и высоту: $S = \frac{1}{2} \cdot c \cdot h$.

4. Так как площадь одного и того же треугольника неизменна, приравняем эти выражения:
$\frac{1}{2} \cdot a \cdot b = \frac{1}{2} \cdot c \cdot h$.
Отсюда выразим высоту $h$:
$h = \frac{a \cdot b}{c}$.

5. Подставим известные значения в полученную формулу:
$h = \frac{10 \cdot 24}{26}$
$h = \frac{240}{26}$.
Сократим дробь на 2:
$h = \frac{120}{13}$.
Выделим целую часть: $120 : 13 = 9$ (остаток $3$).
$h = 9\frac{3}{13}$.

Ответ: $9\frac{3}{13}$

Источник: ФИПИ