Задание №23 — Геометрия

Решение.

1. Рассмотрим треугольники $MBN$ и $ABC$. По условию прямая $MN$ параллельна стороне $AC$. При пересечении двух параллельных прямых $MN$ и $AC$ секущей $AB$ образуются равные соответственные углы: $\angle BMN = \angle BAC$. Аналогично, при пересечении секущей $BC$ получаем $\angle BNM = \angle BCA$.

2. Так как два угла треугольника $MBN$ соответственно равны двум углам треугольника $ABC$, то эти треугольники подобны по первому признаку подобия ($\triangle MBN \sim \triangle ABC$).

3. Из подобия треугольников следует пропорциональность их сходственных сторон. Запишем отношение сторон, лежащих против равных углов:
$\frac{MN}{AC} = \frac{BN}{BC}$.

4. Обозначим искомую длину отрезка $BN$ через $x$. Отрезок $BC$ состоит из суммы отрезков $BN$ и $NC$, то есть $BC = BN + NC = x + 40$.

5. Подставим известные значения в пропорцию:
$\frac{18}{42} = \frac{x}{x + 40}$.

6. Сократим дробь $\frac{18}{42}$ на $6$:
$\frac{3}{7} = \frac{x}{x + 40}$.

7. Воспользуемся основным свойством пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних):
$3 \cdot (x + 40) = 7 \cdot x$;
$3x + 120 = 7x$;
$7x - 3x = 120$;
$4x = 120$;
$x = 30$.

Таким образом, $BN = 30$.

Ответ: 30

Источник: ФИПИ