Задание №21 — Уравнения и неравенства

Решение.

Пусть $v$ км/ч — скорость первого автомобиля. Тогда, по условию задачи, скорость второго автомобиля на второй половине пути составляет $v + 6$ км/ч. Скорость второго автомобиля на первой половине пути известна и равна $55$ км/ч.

Обозначим весь путь между городами А и В за $2S$. Тогда первая половина пути равна $S$, и вторая половина пути также равна $S$.

1) Составим выражение для времени движения первого автомобиля. Так как он проехал весь путь $2S$ с постоянной скоростью $v$, то его время в пути равно:
$t_1 = \frac{2S}{v}$

2) Составим выражение для времени движения второго автомобиля. Оно складывается из времени на первой половине пути и времени на второй половине пути:
$t_2 = \frac{S}{55} + \frac{S}{v + 6}$

3) По условию задачи автомобили прибыли в пункт В одновременно, значит, их времена в пути равны: $t_1 = t_2$.
Получаем уравнение:
$\frac{2S}{v} = \frac{S}{55} + \frac{S}{v + 6}$

4) Так как расстояние $S$ не равно нулю, мы можем разделить обе части уравнения на $S$:
$\frac{2}{v} = \frac{1}{55} + \frac{1}{v + 6}$

5) Приведем дроби в правой части к общему знаменателю:
$\frac{2}{v} = \frac{(v + 6) + 55}{55(v + 6)}$
$\frac{2}{v} = \frac{v + 61}{55v + 330}$

6) Воспользуемся основным свойством пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних):
$2(55v + 330) = v(v + 61)$
$110v + 660 = v^2 + 61v$
$v^2 + 61v - 110v - 660 = 0$
$v^2 - 49v - 660 = 0$

7) Решим полученное квадратное уравнение через дискриминант:
$D = (-49)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-660) = 2401 + 2640 = 5041$
$\sqrt{D} = \sqrt{5041} = 71$

Находим корни:
$v_1 = \frac{49 + 71}{2} = \frac{120}{2} = 60$
$v_2 = \frac{49 - 71}{2} = \frac{-22}{2} = -11$

8) Так как скорость автомобиля должна быть положительной величиной, корень $v_2 = -11$ не подходит по смыслу задачи. Следовательно, скорость первого автомобиля равна $60$ км/ч.

Ответ: 60

Источник: ФИПИ