Задание №22 — Алгебраические выражения

Решение.

1. Область определения функции.
Функция определена, если знаменатель не равен нулю:
$-1 - x \neq 0 \Rightarrow x \neq -1$.
Это значит, что на графике будет «выколотая» точка с абсциссой $x = -1$.

2. Упрощение выражения.
Заметим, что в знаменателе можно вынести минус за скобки: $-1 - x = -(x + 1)$.
Тогда функция примет вид:
$y = \frac{(x^2 + 4)(x + 1)}{-(x + 1)}$.
Сократим дробь на $(x + 1)$, учитывая условие $x \neq -1$:
$y = -(x^2 + 4)$ или $y = -x^2 - 4$.

3. Построение графика.
Графиком функции $y = -x^2 - 4$ является парабола, ветви которой направлены вниз. Вершина параболы находится в точке $(0; -4)$.
Найдём координаты «выколотой» точки. Подставим $x = -1$ в упрощённое уравнение:
$y = -(-1)^2 - 4 = -1 - 4 = -5$.
Таким образом, точка $(-1; -5)$ не принадлежит графику.

4. Исследование количества общих точек с прямой $y = kx$.
Прямая $y = kx$ проходит через начало координат $(0; 0)$. Нам нужно найти значения $k$, при которых эта прямая имеет с графиком ровно одну общую точку.
Это возможно в двух случаях:

Случай А: Прямая проходит через «выколотую» точку $(-1; -5)$.
В этом случае прямая пересекает параболу в двух точках, но одна из них (выколотая) не считается. Подставим координаты точки $(-1; -5)$ в уравнение прямой:
$-5 = k \cdot (-1) \Rightarrow k = 5$.

Случай Б: Прямая касается параболы.
Для этого составим уравнение: $kx = -x^2 - 4$.
Перенесём всё в одну сторону: $x^2 + kx + 4 = 0$.
Квадратное уравнение имеет ровно один корень (точка касания), когда его дискриминант равен нулю:
$D = k^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = k^2 - 16$.
$k^2 - 16 = 0 \Rightarrow k^2 = 16 \Rightarrow k = 4$ или $k = -4$.

Проверим, не совпадают ли точки касания с выколотой точкой.
При $k = 4$ уравнение $x^2 + 4x + 4 = 0$ дает $x = -2$ (подходит).
При $k = -4$ уравнение $x^2 - 4x + 4 = 0$ дает $x = 2$ (подходит).
При $k = 5$ уравнение $x^2 + 5x + 4 = 0$ имеет корни $x = -1$ (выколотая точка) и $x = -4$ (одна общая точка).

Ответ: -4; 4; 5

Источник: ФИПИ