Задание №22 — Алгебраические выражения

Решение.

Для построения графика функции $y = |x|(x + 1) - 6x$ раскроем модуль по определению. Выражение под модулем меняет знак в точке $x = 0$, поэтому рассмотрим два случая.

1) Если $x \geq 0$, то $|x| = x$, и функция принимает вид:
$y = x(x + 1) - 6x = x^2 + x - 6x = x^2 - 5x$.
Это часть параболы, ветви которой направлены вверх. Координаты вершины: $x_0 = -\frac{b}{2a} = \frac{5}{2} = 2,5$; $y_0 = 2,5^2 - 5 \cdot 2,5 = 6,25 - 12,5 = -6,25$. Вершина $(2,5; -6,25)$.
Парабола пересекает ось $Ox$ в точках, где $x^2 - 5x = 0$, то есть $x = 0$ и $x = 5$. Обе точки $(0; 0)$ и $(5; 0)$ принадлежат этому куску ($x \geq 0$).

2) Если $x < 0$, то $|x| = -x$, и функция принимает вид:
$y = -x(x + 1) - 6x = -x^2 - x - 6x = -x^2 - 7x$.
Это часть параболы, ветви которой направлены вниз. Координаты вершины: $x_0 = -\frac{b}{2a} = \frac{7}{-2} = -3,5$; $y_0 = -(-3,5)^2 - 7 \cdot (-3,5) = -12,25 + 24,5 = 12,25$. Вершина $(-3,5; 12,25)$.
Этот кусок проходит через точку $(-7; 0)$; точка $(0; 0)$ является стыком с первым куском.

Объединяя, получаем непрерывный график, стыкующийся в начале координат $(0; 0)$. При движении слева направо график возрастает от $-\infty$ до максимума $(-3,5; 12,25)$, затем убывает (проходя через стык $(0; 0)$) до минимума $(2,5; -6,25)$, после чего снова возрастает до $+\infty$. Таким образом, есть ровно один локальный максимум $y = 12,25$ и один локальный минимум $y = -6,25$.

Определим, при каких $m$ горизонтальная прямая $y = m$ имеет с графиком ровно две общие точки. Рассмотрим движение прямой снизу вверх:
— При $m < -6,25$ прямая пересекает только левую возрастающую ветвь — 1 точка.
— При $m = -6,25$ прямая касается минимума $(2,5; -6,25)$ и пересекает левую ветвь — ровно 2 точки.
— При $-6,25 < m < 12,25$ прямая пересекает график в трёх точках (левая возрастающая ветвь, убывающая средняя часть и правая возрастающая ветвь). В частности, при $m = 0$ это точки $x = -7$, $x = 0$ и $x = 5$ — 3 точки.
— При $m = 12,25$ прямая касается максимума $(-3,5; 12,25)$ и пересекает правую ветвь — ровно 2 точки.
— При $m > 12,25$ прямая пересекает только правую возрастающую ветвь — 1 точка.

Таким образом, ровно две общие точки прямая $y = m$ имеет при $m = -6,25$ и $m = 12,25$.

Ответ: -6,25; 12,25