Задание №22 — Функции

#48372Задание №22ФИПИ

Функции и графики

Постройте график функции

$\left\{\begin{array}{l} y = \begin{matrix}2,5 x - 3,5 \\ - 3 x + 7,5 \\ x - 6\end{matrix} & \begin{matrix}\text{ при } \\ \text{ при } \\ \text{ при }\end{matrix} & \begin{matrix}x < 2, \\ 2 \leq x \leq 3, \\ x > 3.\end{matrix} \end{array}\right.$

Определите, при каких значениях $m$ прямая $y = m$ имеет с графиком ровно две общие точки.

Ваше решениедо 2 баллов

Проверка решения с помощью ИИ доступна авторизованным пользователям

Решение.

Функция кусочно-линейная; график — два луча и отрезок.

1) При $x<2$ : $y=2,5x-3,5$ — возрастающий луч. При $x=0$ $y=-3,5$ ; при $x\to 2$ $y\to 5-3,5=1,5$ (точка $(2;1,5)$ выколота). Значения: $y<1,5$ .

2) При $2\le x\le 3$ : $y=-3x+7,5$ — убывающий отрезок. При $x=2$ $y=1,5$ (включена), при $x=3$ $y=-1,5$ (включена). Значения: $-1,5\le y\le 1,5$ .

3) При $x>3$ : $y=x-6$ — возрастающий луч. При $x\to 3$ $y\to -3$ (точка $(3;-3)$ выколота), при $x=5$ $y=-1$ . Значения: $y>-3$ .

В точке $x=2$ первая и вторая части стыкуются в $(2;1,5)$ — наибольшее значение, достигается один раз. В точке $x=3$ — разрыв: отрезок кончается в $(3;-1,5)$ , третий луч начинается выколотой точкой $(3;-3)$ .

Двигаем прямую $y=m$ снизу вверх:
— при $m<-3$ — только первый луч — 1 точка;
— при $m=-3$ — только первый луч (точка $(3;-3)$ выколота) — 1 точка;
— при $-32 точки</strong>;<br> — при \(m=-1,5$ — первый луч, конец отрезка $(3;-1,5)$ и третий луч — 3 точки;
— при $-1,5 — при \(m=1,5$ — точка стыка $(2;1,5)$ (первый луч сюда не доходит) и третий луч — 2 точки;
— при $m>1,5$ — только третий луч — 1 точка.

Ровно две общие точки — при $m\in(-3;-1,5)$ и при $m=1,5$ .

Ответ: \(-3