Вариант 6 · Август 2026

Решение.

Для того чтобы определить, какой точке соответствует число $\sqrt{46}$, нам нужно оценить его значение, сравнив с целыми числами на координатной прямой.

1. Вспомним квадраты целых чисел, которые находятся рядом с числом $46$:
$6^2 = 36$
$7^2 = 49$

2. Так как число $46$ находится между $36$ и $49$, то корень из него находится между $6$ и $7$:
$\sqrt{36} < \sqrt{46} < \sqrt{49}$
$6 < \sqrt{46} < 7$

3. Теперь уточним положение числа $\sqrt{46}$ в интервале от $6$ до $7$. Заметим, что число $46$ гораздо ближе к $49$, чем к $36$ (разница $49 - 46 = 3$, а $46 - 36 = 10$). Это означает, что значение $\sqrt{46}$ будет ближе к $7$, чем к $6$.

4. Посмотрим на координатную прямую. В интервале от $6$ до $7$ отмечены две точки: $C$ и $D$.
Точка $C$ расположена ближе к середине интервала (ближе к $6$), а точка $D$ расположена ближе к числу $7$.
Следовательно, числу $\sqrt{46}$ соответствует точка $D$.

5. Точка $D$ указана в варианте под номером 3.

Ответ: 3

Источник: ФИПИ

Решение.

Для того чтобы найти значение данного выражения, воспользуемся свойствами степеней и корней. Разберём решение по шагам.

1. Сначала возведём в квадрат числитель дроби: $(4\sqrt{3})^2$.
Согласно свойству степени произведения $(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$, нам нужно возвести в квадрат каждый множитель в скобках:
$(4\sqrt{3})^2 = 4^2 \cdot (\sqrt{3})^2$.

2. Вычислим значения полученных степеней:
$4^2 = 4 \cdot 4 = 16$;
$(\sqrt{3})^2 = 3$ (так как по определению квадратного корня при $a \ge 0$ верно равенство $(\sqrt{a})^2 = a$).

3. Перемножим результаты в числителе:
$16 \cdot 3 = 48$.

4. Теперь подставим полученное значение обратно в дробь:
$\frac{48}{60}$.

5. Сократим дробь. Заметим, что и 48, и 60 делятся на 12:
$\frac{48}{60} = \frac{48 : 12}{60 : 12} = \frac{4}{5}$.

6. Переведём обыкновенную дробь в десятичную. Для этого можно умножить и числитель, и знаменатель на 2, чтобы в знаменателе получилось 10:
$\frac{4 \cdot 2}{5 \cdot 2} = \frac{8}{10} = 0,8$.

Ответ: 0,8

Источник: ФИПИ

Решение.

Для решения данного линейного уравнения необходимо сгруппировать слагаемые, содержащие переменную $x$, в одной части уравнения, а свободные числа — в другой.

Шаг 1. Перенесём слагаемое $9x$ из правой части уравнения в левую, изменив его знак на противоположный. Одновременно перенесём число $8$ из левой части в правую, также сменив знак на минус:
$7x - 9x = 4 - 8$

Шаг 2. Приведём подобные слагаемые в обеих частях уравнения:
В левой части: $7x - 9x = -2x$
В правой части: $4 - 8 = -4$
Получаем уравнение:
$-2x = -4$

Шаг 3. Чтобы найти значение $x$, разделим обе части уравнения на коэффициент перед переменной, то есть на $-2$:
$x = \frac{-4}{-2}$

Шаг 4. Выполним деление. При делении отрицательного числа на отрицательное получается положительный результат:
$x = 2$

Проверка: Подставим найденное значение в исходное уравнение:
$8 + 7 \cdot 2 = 9 \cdot 2 + 4$
$8 + 14 = 18 + 4$
$22 = 22$
Равенство верно, значит, корень найден правильно.

Ответ: 2

Источник: ФИПИ

Решение.

Для решения задачи воспользуемся классическим определением вероятности: вероятность события равна отношению количества благоприятных исходов к общему количеству возможных исходов.

1) Сначала определим общее количество фонариков. По условию задачи их всего $80$. Это и будет общее число возможных исходов.

2) Нам нужно найти вероятность того, что фонарик окажется исправен. По условию из $80$ фонариков $4$ являются неисправными. Найдём количество исправных фонариков, вычтя из общего числа бракованные:
$80 - 4 = 76$.
Таким образом, количество благоприятных исходов равно $76$.

3) Теперь вычислим вероятность $P$, разделив количество исправных фонариков на общее количество фонариков в партии:
$P = \frac{76}{80}$.

4) Сократим полученную дробь на $4$:
$\frac{76}{80} = \frac{19}{20}$.

5) Для записи ответа переведём обыкновенную дробь в десятичную. Для этого умножим и числитель, и знаменатель на $5$:
$\frac{19 \cdot 5}{20 \cdot 5} = \frac{95}{100} = 0,95$.

Ответ: 0,95

Источник: ФИПИ

Решение.

Для решения данной задачи вспомним, за что отвечают коэффициенты $a$ и $c$ в уравнении квадратичной функции $y = ax^{2} + bx + c$:

1. Коэффициент $a$ определяет направление ветвей параболы. Если $a > 0$, то ветви направлены вверх. Если $a < 0$, то ветви направлены вниз.
2. Коэффициент $c$ — это ордината точки пересечения параболы с осью $Oy$. То есть это значение $y$ в точке, где график пересекает вертикальную ось. Если точка пересечения лежит выше оси $Ox$, то $c > 0$. Если ниже — то $c < 0$.

Проанализируем каждый график:

График №1: Ветви параболы направлены вверх, значит, $a > 0$. График пересекает ось $Oy$ выше оси $Ox$ (в положительной области), значит, $c > 0$. Это соответствует условию Б.

График №2: Ветви параболы направлены вниз, значит, $a < 0$. График пересекает ось $Oy$ выше оси $Ox$, значит, $c > 0$. Это соответствует условию А.

График №3: Ветви параболы направлены вверх, значит, $a > 0$. График пересекает ось $Oy$ ниже оси $Ox$ (в отрицательной области), значит, $c < 0$. Это соответствует условию В.

Сопоставим результаты:
А — 2
Б — 1
В — 3

Ответ: 213

Источник: ФИПИ

Решение.

Для решения задачи воспользуемся формулой центростремительного ускорения, данной в условии: $a = \omega^{2} R$.

1. Выпишем значения величин, которые нам известны из условия задачи:
Угловая скорость $\omega = 6$ $с^{-1}$;
Центростремительное ускорение $a = 72$ $м/с^{2}$.

2. Нам необходимо найти радиус $R$. Для этого выразим $R$ из исходной формулы. Чтобы найти неизвестный множитель, нужно произведение разделить на известный множитель:
$R = \frac{a}{\omega^{2}}$.

3. Подставим известные числовые значения в полученную формулу:
$R = \frac{72}{6^{2}}$.

4. Выполним вычисления. Сначала возведём угловую скорость в квадрат:
$6^{2} = 6 \cdot 6 = 36$.
Теперь разделим значение ускорения на полученный результат:
$R = \frac{72}{36} = 2$.

Таким образом, радиус окружности равен $2$ метрам.

Ответ: 2

Источник: ФИПИ

Решение.

1) Проанализируем рисунок. На координатной прямой изображён промежуток между числами $-4$ и $4$. Точки закрашены, значит, границы входят в решение. Это соответствует неравенству $-4 \leq x \leq 4$.

2) Рассмотрим предложенные варианты неравенств. Заметим, что в вариантах 1 и 3 используется выражение $x^{2} + 16$. Поскольку квадрат любого числа $x^{2} \geq 0$, то выражение $x^{2} + 16$ всегда больше или равно 16. Следовательно, неравенство $x^{2} + 16 \geq 0$ верно при любом $x$, а неравенство $x^{2} + 16 \leq 0$ не имеет решений. Эти варианты нам не подходят.

3) Остаются варианты 2 и 4 с выражением $x^{2} - 16$. Найдём корни соответствующего уравнения:
$x^{2} - 16 = 0$
$x^{2} = 16$
$x_{1} = -4$, $x_{2} = 4$. Корни совпадают с числами на рисунке.

4) Графиком функции $f(x) = x^{2} - 16$ является парабола, ветви которой направлены вверх (так как коэффициент перед $x^{2}$ положителен). Парабола пересекает ось $x$ в точках $-4$ и $4$. Значения функции отрицательны ($\leq 0$) на внутреннем промежутке, то есть между корнями, и положительны ($\geq 0$) на внешних промежутках.

5) На рисунке заштрихована именно внутренняя часть — от $-4$ до $4$. Это соответствует условию $x^{2} - 16 \leq 0$.

Таким образом, рисунку соответствует неравенство под номером 2.

Ответ: 2

Источник: ФИПИ

Решение.

Проанализируем условие задачи. Расстояние, которое проезжает автомобиль каждую секунду, уменьшается на одно и то же число (на $3$ метра). Это означает, что последовательность расстояний является арифметической прогрессией.

Выпишем известные нам данные:
1. Расстояние за первую секунду: $a_1 = 24$.
2. Разность прогрессии (так как расстояние уменьшается): $d = -3$.
3. Время движения: $n = 4$ секунды.

Нам нужно найти общее расстояние, пройденное за первые 4 секунды. Это сумма первых четырёх членов арифметической прогрессии $S_4$.

Шаг 1. Найдём расстояние, пройденное за четвёртую секунду.
Воспользуемся формулой $n$-го члена арифметической прогрессии:
$a_n = a_1 + d(n - 1)$
Подставим значения для $n = 4$:
$a_4 = 24 + (-3) \cdot (4 - 1)$
$a_4 = 24 - 3 \cdot 3$
$a_4 = 24 - 9 = 15$ (м).

Шаг 2. Найдём сумму расстояний за 4 секунды.
Воспользуемся формулой суммы первых $n$ членов:
$S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$
Подставим наши значения:
$S_4 = \frac{24 + 15}{2} \cdot 4$
$S_4 = \frac{39}{2} \cdot 4$
Сократим $4$ и $2$:
$S_4 = 39 \cdot 2 = 78$ (м).

Замечание: Задачу можно решить и простым сложением, вычислив путь за каждую секунду:
1-я сек: $24$ м
2-я сек: $24 - 3 = 21$ м
3-я сек: $21 - 3 = 18$ м
4-я сек: $18 - 3 = 15$ м
Итого: $24 + 21 + 18 + 15 = 78$ м.

Ответ: 78

Источник: ФИПИ

Решение.

1. Вспомним определение медианы треугольника. Медиана — это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.

2. По условию задачи $B M$ является медианой треугольника $A B C$, проведённой к стороне $A C$. Это означает, что точка $M$ делит сторону $A C$ на два равных отрезка: $A M$ и $M C$.

3. Следовательно, длина отрезка $A M$ равна половине длины всей стороны $A C$. Запишем это в виде формулы:
$A M = \frac{A C}{2}$

4. Нам известно, что $A C = 14$. Подставим это значение в формулу:
$A M = \frac{14}{2} = 7$

5. Стоит отметить, что длина самой медианы $B M = 10$ в данной задаче является избыточным данным и не требуется для нахождения длины отрезка $A M$.

Ответ: 7

Источник: ФИПИ

Решение.

1) Рассмотрим треугольник $BOC$. Точка $O$ является центром окружности, а отрезки $OB$ и $OC$ — её радиусами. Так как все радиусы одной окружности равны, то $OB = OC$. Следовательно, треугольник $BOC$ является равнобедренным с основанием $BC$.

2) В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Значит, $\angle OBC = \angle OCB$. По условию задачи $\angle ACB = 59^\circ$, что и есть угол $\angle OCB$. Таким образом, $\angle OBC = 59^\circ$.

3) Сумма углов в любом треугольнике равна $180^\circ$. Найдём угол $BOC$ при вершине треугольника:
$\angle BOC = 180^\circ - (\angle OBC + \angle OCB) = 180^\circ - (59^\circ + 59^\circ) = 180^\circ - 118^\circ = 62^\circ$.

4) Отрезки $AC$ и $BD$ являются диаметрами и пересекаются в точке $O$. Углы $BOC$ и $AOD$ являются вертикальными. По свойству вертикальных углов они равны:
$\angle AOD = \angle BOC = 62^\circ$.

Ответ: 62

Источник: ФИПИ

Решение.

1) Пусть $AK$ — биссектриса угла $A$ параллелограмма $ABCD$, где точка $K$ лежит на стороне $BC$. По условию задачи угол между биссектрисой и стороной $BC$ равен $16^\circ$, то есть $\angle AKB = 16^\circ$.

2) Вспомним свойство параллельных прямых: при пересечении двух параллельных прямых секущей накрест лежащие углы равны. Так как $BC \parallel AD$ (противоположные стороны параллелограмма), а $AK$ является секущей, то $\angle KAD = \angle AKB$.

3) Следовательно, $\angle KAD = 16^\circ$.

4) Так как $AK$ — биссектриса угла $A$, она делит этот угол на две равные части. Это значит, что $\angle BAK = \angle KAD$. Отсюда получаем:
$\angle BAK = 16^\circ$.

5) Весь угол $A$ параллелограмма состоит из суммы этих двух углов:
$\angle A = \angle BAK + \angle KAD = 16^\circ + 16^\circ = 32^\circ$.

6) Полученное значение $32^\circ$ меньше $90^\circ$, значит, этот угол является острым углом параллелограмма.

Ответ: 32

Источник: ФИПИ

Решение.

Для нахождения площади треугольника на клетчатой бумаге воспользуемся классической геометрической формулой: $S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h$, где $a$ — длина основания треугольника, а $h$ — высота, проведённая к этому основанию.

1) Сначала выберем удобную сторону в качестве основания. На рисунке видно, что нижняя сторона треугольника лежит строго на горизонтальной линии сетки. Посчитаем её длину в клетках. Основание $a$ занимает $4$ полные клетки. Значит, $a = 4$.

2) Теперь проведём высоту $h$ из верхней вершины треугольника к выбранному основанию. Высота — это перпендикуляр, опущенный на прямую, содержащую основание. Посчитаем длину этого перпендикуляра по клеткам. Высота $h$ составляет $3$ клетки. Значит, $h = 3$.

3) Подставим полученные значения в формулу площади: $S = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 3$.

4) Выполним вычисления: $S = \frac{1}{2} \cdot 12 = 6$.

Так как размер клетки составляет $1 \times 1$, площадь треугольника равна $6$.

Ответ: 6

Источник: ФИПИ

Решение.

Разберём каждое утверждение по порядку, чтобы определить его истинность.

1) Две различные прямые, перпендикулярные третьей прямой, параллельны.
Это утверждение является верным. Согласно признаку параллельности прямых, если две прямые на плоскости перпендикулярны одной и той же третьей прямой, то они не имеют общих точек и лежат в одной плоскости, а значит, параллельны друг другу. Математически это записывается так: если $a \perp c$ и $b \perp c$, то $a \parallel b$.

2) Если диагонали выпуклого четырёхугольника равны и перпендикулярны, то этот четырёхугольник является квадратом.
Это утверждение ложно. Для того чтобы четырёхугольник был квадратом, недостаточно только равенства и перпендикулярности диагоналей. Например, можно представить произвольный четырёхугольник, у которого диагонали пересекаются под прямым углом и равны, но точка пересечения не делит их пополам. Такой фигурой может быть, например, равнобедренная трапеция с перпендикулярными диагоналями или произвольный "делитоид". У квадрата диагонали должны ещё и делиться точкой пересечения пополам.

3) Все углы ромба равны.
Это утверждение ложно. По определению ромб — это параллелограмм, у которого все стороны равны. Углы ромба равны между собой только в том случае, если этот ромб является квадратом. В общем же случае у ромба равны только противоположные углы, а соседние углы в сумме дают $180^{\circ}$.

Таким образом, истинным является только первое утверждение.

Ответ: 1

Источник: ФИПИ