Вариант 8 · Август 2026

Решение.

Для того чтобы определить, какой точке соответствует число $\sqrt{46}$, нам нужно оценить его значение, сравнив с целыми числами на координатной прямой.

1. Вспомним квадраты целых чисел, которые находятся рядом с числом $46$:
$6^2 = 36$
$7^2 = 49$

2. Так как число $46$ находится между $36$ и $49$, то корень из него находится между $6$ и $7$:
$\sqrt{36} < \sqrt{46} < \sqrt{49}$
$6 < \sqrt{46} < 7$

3. Теперь уточним положение числа $\sqrt{46}$ в интервале от $6$ до $7$. Заметим, что число $46$ гораздо ближе к $49$, чем к $36$ (разница $49 - 46 = 3$, а $46 - 36 = 10$). Это означает, что значение $\sqrt{46}$ будет ближе к $7$, чем к $6$.

4. Посмотрим на координатную прямую. В интервале от $6$ до $7$ отмечены две точки: $C$ и $D$.
Точка $C$ расположена ближе к середине интервала (ближе к $6$), а точка $D$ расположена ближе к числу $7$.
Следовательно, числу $\sqrt{46}$ соответствует точка $D$.

5. Точка $D$ указана в варианте под номером 3.

Ответ: 3

Источник: ФИПИ

Решение.

Для решения данной задачи воспользуемся свойствами степеней и корней. Разберем выражение по шагам.

1. Сначала упростим выражение внутри скобок: $(-a)^{4}$.
Так как показатель степени (число $4$) является чётным, то отрицательный знак при возведении в степень исчезает.
Следовательно, $(-a)^{4} = a^{4}$.

2. Теперь подставим полученный результат в исходное подкоренное выражение:
$a^{6} \cdot (-a)^{4} = a^{6} \cdot a^{4}$.

3. При умножении степеней с одинаковыми основаниями их показатели складываются:
$a^{6} \cdot a^{4} = a^{6 + 4} = a^{10}$.

4. Наше выражение приняло вид: $\sqrt{a^{10}}$.
По свойству корня $\sqrt{x^{2n}} = |x^{n}|$. В нашем случае:
$\sqrt{a^{10}} = a^{10/2} = a^{5}$.
(Так как по условию $a = 2$, число положительное, модуль можно не ставить).

5. Подставим значение $a = 2$ в упрощенное выражение $a^{5}$:
$2^{5} = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 32$.

Ответ: 32

Источник: ФИПИ

Решение.

Перед нами квадратное уравнение вида $ax^{2} + bx + c = 0$. Для его решения выпишем коэффициенты:
$a = 1$, $b = -9$, $c = 8$.

Шаг 1. Найдём дискриминант.
Воспользуемся формулой $D = b^{2} - 4ac$:
$D = (-9)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 8 = 81 - 32 = 49$.
Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных корня.

Шаг 2. Найдём корни уравнения.
Воспользуемся формулой корней $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$.
Вычислим корень из дискриминанта: $\sqrt{D} = \sqrt{49} = 7$.
Теперь найдём значения $x$:
$x_{1} = \frac{-(-9) + 7}{2 \cdot 1} = \frac{9 + 7}{2} = \frac{16}{2} = 8$;
$x_{2} = \frac{-(-9) - 7}{2 \cdot 1} = \frac{9 - 7}{2} = \frac{2}{2} = 1$.

Шаг 3. Выбор ответа.
По условию задачи, если уравнение имеет более одного корня, в ответ нужно записать больший из них.
Сравним полученные корни: $8 > 1$. Следовательно, больший корень равен $8$.

Ответ: 8

Источник: ФИПИ

Решение.

Для решения задачи воспользуемся классическим определением вероятности: вероятность события равна отношению количества благоприятных исходов к общему количеству возможных исходов.

1. Сначала определим общее количество фонариков. По условию задачи их всего $50$. Это и будет общее число возможных исходов.

2. Нам нужно найти вероятность того, что фонарик окажется исправен. По условию из $50$ фонариков $6$ являются неисправными. Вычислим количество исправных фонариков:
$50 - 6 = 44$.
Таким образом, количество благоприятных исходов равно $44$.

3. Теперь вычислим вероятность $P$, разделив число исправных фонариков на общее число фонариков:
$P = \frac{44}{50}$.

4. Чтобы перевести дробь в десятичный вид, удобно умножить и числитель, и знаменатель на $2$:
$P = \frac{44 \cdot 2}{50 \cdot 2} = \frac{88}{100} = 0,88$.

Ответ: 0,88

Источник: ФИПИ

Решение. Для решения этой задачи вспомним геометрический смысл коэффициентов линейной функции $y = kx + b$:

1) Коэффициент $k$ отвечает за наклон прямой. Если $k > 0$, то функция возрастает (прямая идет "снизу вверх"). Если $k < 0$, то функция убывает (прямая идет "сверху вниз").
2) Коэффициент $b$ — это ордината точки пересечения прямой с осью $Oy$. Если прямая пересекает ось $Oy$ выше оси $Ox$, то $b > 0$. Если ниже — то $b < 0$.

Проанализируем каждый график:

• График №1: Прямая идет "снизу вверх", значит, функция возрастает и $k > 0$. Прямая пересекает ось $Oy$ ниже начала координат, следовательно, $b < 0$. Это соответствует условию В.
• График №2: Прямая идет "сверху вниз", значит, функция убывает и $k < 0$. Прямая пересекает ось $Oy$ ниже начала координат, следовательно, $b < 0$. Это соответствует условию А.
• График №3: Прямая идет "сверху вниз", значит, функция убывает и $k < 0$. Прямая пересекает ось $Oy$ выше начала координат, следовательно, $b > 0$. Это соответствует условию Б.

Сопоставим результаты:

А — 2
Б — 3
В — 1

Ответ: 231

Источник: ФИПИ

Решение.

Для решения задачи нам необходимо найти значение температуры по шкале Цельсия ($t_{C}$), если известно значение по шкале Фаренгейта ($t_{F}$).

1. Выпишем исходную формулу, данную в условии:
$t_{C} = \frac{5}{9} (t_{F} - 32)$.

2. По условию задачи температура по шкале Фаренгейта составляет 5 градусов. Значит, $t_{F} = 5$. Подставим это число в формулу вместо переменной $t_{F}$:
$t_{C} = \frac{5}{9} (5 - 32)$.

3. Выполним действие в скобках:
$5 - 32 = -27$.

4. Теперь подставим полученный результат обратно в выражение:
$t_{C} = \frac{5}{9} \cdot (-27)$.

5. Чтобы умножить дробь на целое число, нужно числитель дроби умножить на это число, а знаменатель оставить прежним. При этом не забываем про знак «минус»:
$t_{C} = -\frac{5 \cdot 27}{9}$.

6. Сократим дробь. Заметим, что $27$ делится на $9$ без остатка:
$27 : 9 = 3$.
Тогда выражение принимает вид:
$t_{C} = -5 \cdot 3$.

7. Выполним финальное умножение:
$t_{C} = -15$.

Таким образом, 5 градусов по шкале Фаренгейта соответствуют -15 градусам по шкале Цельсия.

Ответ: -15

Источник: ФИПИ

Решение.

Для того чтобы найти решение системы неравенств, необходимо решить каждое неравенство по отдельности, а затем найти их общее решение (пересечение промежутков).

Дана система неравенств:
$\begin{cases} -9 + 3x < 0 \\ x - 4 < -1 \end{cases}$

Шаг 1. Решим первое неравенство:
$-9 + 3x < 0$
Перенесём число $-9$ в правую часть неравенства, сменив знак на противоположный:
$3x < 9$
Разделим обе части на $3$:
$x < 3$

Шаг 2. Решим второе неравенство:
$x - 4 < -1$
Перенесём число $-4$ в правую часть неравенства со знаком «плюс»:
$x < -1 + 4$
Вычислим значение справа:
$x < 3$

Шаг 3. Анализ полученных результатов:
Мы получили, что оба неравенства системы сводятся к одному и тому же условию: $x < 3$.
Это означает, что решением системы являются все числа, которые меньше $3$. На координатной прямой это изображается в виде открытого луча, уходящего влево от точки $3$. Сама точка $3$ при этом не закрашена (выколота), так как неравенство строгое.

Сравним наш результат с предложенными рисунками:
1) Изображено $x < 4$.
2) Изображено $x > 3$.
3) Изображено $x < 3$.
4) Изображен интервал $3 < x < 4$.

Таким образом, правильному решению соответствует рисунок № 3.

Ответ: 3

Источник: ФИПИ

Решение.

Разберем условие задачи. Поезд за каждую следующую секунду проходит на одно и то же расстояние больше, чем за предыдущую. Это означает, что расстояния, пройденные за каждую секунду, образуют арифметическую прогрессию.

Выпишем известные нам данные:
1) Расстояние за первую секунду: $a_1 = 0,1$ м.
2) Разность прогрессии (на сколько увеличивается путь каждую секунду): $d = 0,6$ м.
3) Время движения: $n = 9$ секунд.

Нам нужно найти общее расстояние, которое состав прошёл за первые 9 секунд. В терминах прогрессии это сумма первых $n$ членов ($S_n$).

Воспользуемся формулой суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии:
$S_n = \frac{2a_1 + d(n - 1)}{2} \cdot n$

Подставим наши значения в формулу:
$S_9 = \frac{2 \cdot 0,1 + 0,6 \cdot (9 - 1)}{2} \cdot 9$

Выполним вычисления по шагам:
1) Найдем значение в скобках: $9 - 1 = 8$.
2) Умножим разность на этот результат: $0,6 \cdot 8 = 4,8$.
3) Умножим первый член на два: $2 \cdot 0,1 = 0,2$.
4) Сложим полученные числа в числителе: $0,2 + 4,8 = 5,0$.
5) Разделим на 2: $5,0 : 2 = 2,5$.
6) Умножим результат на количество секунд: $2,5 \cdot 9 = 22,5$.

Таким образом, за первые 9 секунд поезд прошел 22,5 метра.

Ответ: 22,5

Источник: ФИПИ

Решение.

1. Рассмотрим треугольник $A B C$. По условию задачи угол $C$ равен $90^\circ$, следовательно, данный треугольник является прямоугольным.

2. В прямоугольном треугольнике косинусом острого угла называется отношение прилежащего катета к гипотенузе.

3. Для угла $B$ прилежащим катетом является сторона $B C$, а гипотенузой (стороной, лежащей против прямого угла) является сторона $A B$.

4. Запишем формулу для нахождения косинуса угла $B$:
$cos B = \frac{BC}{AB}$

5. Подставим известные значения сторон в формулу:
$cos B = \frac{14}{20}$

6. Сократим дробь на $2$:
$cos B = \frac{7}{10}$

7. Переведем полученный результат в десятичную дробь:
$cos B = 0,7$

Ответ: 0,7

Источник: ФИПИ

Решение.

1) Рассмотрим треугольник $A B C$. По условию угол $C = 90^\circ$, значит, треугольник является прямоугольным. Стороны $A C = 30$ и $B C = 16$ являются его катетами.

2) Вспомним важное свойство из курса геометрии: центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, лежит на середине гипотенузы. Следовательно, радиус описанной окружности $R$ равен половине гипотенузы $A B$:
$R = \frac{A B}{2}$.

3) Найдем гипотенузу $A B$ по теореме Пифагора:
$A B^2 = A C^2 + B C^2$
$A B^2 = 30^2 + 16^2$
$A B^2 = 900 + 256$
$A B^2 = 1156$

4) Извлечем квадратный корень из полученного числа:
$A B = \sqrt{1156} = 34$.

5) Теперь вычислим радиус описанной окружности:
$R = \frac{34}{2} = 17$.

Ответ: 17

Источник: ФИПИ

Решение.

1) Пусть $AK$ — биссектриса угла $A$ параллелограмма $ABCD$, где точка $K$ лежит на стороне $BC$. По условию задачи угол между биссектрисой и стороной $BC$ равен $16^\circ$, то есть $\angle AKB = 16^\circ$.

2) Вспомним свойство параллельных прямых: при пересечении двух параллельных прямых секущей накрест лежащие углы равны. Так как $BC \parallel AD$ (противоположные стороны параллелограмма), а $AK$ является секущей, то $\angle KAD = \angle AKB$.

3) Следовательно, $\angle KAD = 16^\circ$.

4) Так как $AK$ — биссектриса угла $A$, она делит этот угол на две равные части. Это значит, что $\angle BAK = \angle KAD$. Отсюда получаем:
$\angle BAK = 16^\circ$.

5) Весь угол $A$ параллелограмма состоит из суммы этих двух углов:
$\angle A = \angle BAK + \angle KAD = 16^\circ + 16^\circ = 32^\circ$.

6) Полученное значение $32^\circ$ меньше $90^\circ$, значит, этот угол является острым углом параллелограмма.

Ответ: 32

Источник: ФИПИ

Решение. Для нахождения площади параллелограмма, изображённого на клетчатой бумаге, воспользуемся стандартной геометрической формулой.

1. Вспомним формулу площади параллелограмма: $S = a \cdot h$, где $a$ — длина основания параллелограмма, а $h$ — высота, проведённая к этому основанию.

2. Выберем в качестве основания нижнюю горизонтальную сторону параллелограмма. Посчитаем её длину по клеткам. Мы видим, что основание занимает ровно $4$ клетки. Так как размер клетки $1 \times 1$, то длина основания $a = 4$.

3. Теперь проведём высоту к этому основанию (или к прямой, содержащей это основание). Высота — это перпендикуляр, опущенный из любой точки верхней стороны на нижнюю сторону. Посчитаем количество клеток по вертикали между верхней и нижней сторонами параллелограмма. Высота $h$ составляет $3$ клетки, значит, $h = 3$.

4. Подставим найденные значения в формулу:
$S = 4 \cdot 3 = 12$.

Таким образом, площадь параллелограмма равна $12$.

Ответ: 12

Источник: ФИПИ

Решение.

Разберем каждое утверждение по порядку, опираясь на геометрические правила и определения.

1) Треугольника со сторонами $1, 2, 4$ не существует.
Для того чтобы треугольник существовал, должно выполняться неравенство треугольника: сумма любых двух его сторон должна быть строго больше третьей стороны. Проверим это для данных чисел:
$1 + 2 = 3$.
Мы видим, что $3 < 4$. Сумма двух сторон оказалась меньше третьей стороны, что невозможно для реального треугольника. Следовательно, треугольника с такими сторонами действительно не существует. Утверждение верно.

2) Площадь трапеции равна произведению основания трапеции на высоту.
Вспомним формулу площади трапеции: $S = \frac{a + b}{2} \cdot h$, где $a$ и $b$ — основания, а $h$ — высота. То есть площадь равна произведению средней линии (полусуммы оснований) на высоту, а не просто одного основания на высоту. Утверждение неверно.

3) Все диаметры окружности равны между собой.
По определению, диаметр — это хорда, проходящая через центр окружности. Длина любого диаметра равна двум радиусам ($D = 2r$). Так как в одной окружности все радиусы равны, то и все диаметры будут иметь одинаковую длину. Утверждение верно.

Таким образом, верными являются утверждения под номерами 1 и 3.

Ответ: 13

Источник: ФИПИ