Задание №24 — Геометрия

#47809Задание №24ФИПИ

Треугольник

Основания $B C$ и $A D$ трапеции $A B C D$ равны соответственно 5 и 45, $B D = 15$ . Докажите, что треугольники $C B D$ и $B D A$ подобны.

Ваше решениедо 2 баллов

Проверка решения с помощью ИИ доступна авторизованным пользователям

Решение.

Для того чтобы доказать подобие треугольников $CBD$ и $BDA$ , рассмотрим их соответствующие элементы: стороны и углы.

1. Рассмотрим углы при параллельных прямых. Так как $BC$ и $AD$ — основания трапеции, то $BC \parallel AD$ . Отрезок $BD$ является секущей для этих параллельных прямых. Следовательно, накрест лежащие углы равны: $\angle CBD = \angle BDA$ .

2. Теперь проверим пропорциональность сторон, которые образуют эти равные углы в треугольниках $CBD$ и $BDA$ .
В треугольнике $CBD$ это стороны $BC$ и $BD$ .
В треугольнике $BDA$ это стороны $BD$ и $AD$ .

3. Вычислим отношение соответствующих сторон:
Отношение меньших сторон: $\frac{BC}{BD} = \frac{5}{15} = \frac{1}{3}$ .
Отношение больших сторон: $\frac{BD}{AD} = \frac{15}{45} = \frac{1}{3}$ .

4. Мы получили, что $\frac{BC}{BD} = \frac{BD}{AD} = \frac{1}{3}$ . Это означает, что две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника.

5. Таким образом, треугольники $CBD$ и $BDA$ подобны по второму признаку подобия треугольников (по двум пропорциональным сторонам и равному углу между ними). Что и требовалось доказать.

Ответ: Треугольники подобны по второму признаку подобия (по двум пропорциональным сторонам и углу между ними).

Источник: ФИПИ