Задание №24 — Геометрия

Решение.

Для того чтобы доказать подобие треугольников $CBD$ и $BDA$, рассмотрим их элементы (стороны и углы).

1. Рассмотрим углы этих треугольников. Так как $BC$ и $AD$ — основания трапеции, то они параллельны ($BC \parallel AD$). Отрезок $BD$ является секущей для этих параллельных прямых. Следовательно, накрест лежащие углы при параллельных прямых и секущей равны: $\angle CBD = \angle BDA$.

2. Теперь проверим пропорциональность сторон, образующих эти равные углы. В треугольнике $CBD$ это стороны $BC$ и $BD$, а в треугольнике $BDA$ — стороны $BD$ и $AD$.

3. Вычислим отношение соответствующих сторон:
- Отношение меньших сторон: $\frac{BC}{BD} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$;
- Отношение больших сторон: $\frac{BD}{AD} = \frac{8}{32} = \frac{1}{4}$.

4. Мы видим, что отношения равны: $\frac{BC}{BD} = \frac{BD}{AD} = \frac{1}{4}$. Это означает, что две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника.

5. Таким образом, треугольники $CBD$ и $BDA$ подобны по второму признаку подобия треугольников (по двум пропорциональным сторонам и равному углу между ними). Что и требовалось доказать.

Ответ: Треугольники подобны по второму признаку подобия (по двум пропорциональным сторонам и углу между ними).

Источник: ФИПИ