Задание 24

Геометрическая задача на доказательство · 60 заданий

Задание №24
№24
Сторона B C параллелограмма A B C D вдвое больше стороны C D . Точка K — середина стороны B C . Докажите, что D K — биссектриса угла A D C .
Многоугольники
Задание №24
№24
Сторона A D параллелограмма A B C D вдвое больше стороны A B . Точка M — середина стороны A D . Докажите, что B M — биссектриса угла A B C .
Многоугольники
Задание №24
№24
Основания B C и A D трапеции A B C D равны соответственно 4 и 64, B D = 16 . Докажите, что треугольники C B D и B D A подобны.
Треугольник
Задание №24
№24
Внутри параллелограмма A B C D выбрали произвольную точку E . Докажите, что сумма площадей треугольников B E C и A E D равна половине площади параллел…
Многоугольники
Задание №24
№24
В остроугольном треугольнике A B C проведены высоты A A_1 и C C_1 . Докажите, что углы C C_1 A_1 и C A A_1 равны.
Окружность и круг
Задание №24
№24
Основания B C и A D трапеции A B C D равны соответственно 5 и 45, B D = 15 . Докажите, что треугольники C B D и B D A подобны.
Треугольник
Задание №24
№24
В выпуклом четырёхугольнике A B C D углы C D B и C A B равны. Докажите, что углы B C A и B D A также равны.
Окружность и круг
Задание №24
№24
Основания B C и A D трапеции A B C D равны соответственно 9 и 36, B D = 18 . Докажите, что треугольники C B D и B D A подобны.
Треугольник
Задание №24
№24
На средней линии трапеции A B C D с основаниями A D и B C выбрали произвольную точку F . Докажите, что сумма площадей треугольников B F C и A F D равн…
Многоугольники
Задание №24
№24
Основания B C и A D трапеции A B C D равны соответственно 6 и 24, B D = 12 . Докажите, что треугольники C B D и B D A подобны.
Треугольник
Задание №24
№24
Основания B C и A D трапеции A B C D равны соответственно 5 и 20, B D = 10 . Докажите, что треугольники C B D и B D A подобны.
Треугольник
Задание №24
№24
Основания B C и A D трапеции A B C D равны соответственно 2 и 32, B D = 8 . Докажите, что треугольники C B D и B D A подобны.
Треугольник

Задание №24 — Геометрия

Основания $B C$ и $A D$ трапеции $A B C D$ равны соответственно 2 и 32, $B D = 8$ . Докажите, что треугольники $C B D$ и $B D A$ подобны.

Ваше решениедо 2 баллов

Запишите решение задачи...

Решение

Решение.

Для того чтобы доказать подобие треугольников $CBD$ и $BDA$ , рассмотрим их элементы (стороны и углы).

1. Рассмотрим углы этих треугольников. Так как $BC$ и $AD$ — основания трапеции, то они параллельны ( $BC \parallel AD$ ). Отрезок $BD$ является секущей для этих параллельных прямых. Следовательно, накрест лежащие углы при параллельных прямых и секущей равны: $\angle CBD = \angle BDA$ .

2. Теперь проверим пропорциональность сторон, образующих эти равные углы. В треугольнике $CBD$ это стороны $BC$ и $BD$ , а в треугольнике $BDA$ — стороны $BD$ и $AD$ .

3. Вычислим отношение соответствующих сторон:
- Отношение меньших сторон: $\frac{BC}{BD} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$ ;
- Отношение больших сторон: $\frac{BD}{AD} = \frac{8}{32} = \frac{1}{4}$ .

4. Мы видим, что отношения равны: $\frac{BC}{BD} = \frac{BD}{AD} = \frac{1}{4}$ . Это означает, что две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника.

5. Таким образом, треугольники $CBD$ и $BDA$ подобны по второму признаку подобия треугольников (по двум пропорциональным сторонам и равному углу между ними). Что и требовалось доказать.

Ответ: Треугольники подобны по второму признаку подобия (по двум пропорциональным сторонам и углу между ними).

Источник: ФИПИ