Задание №24 — Геометрия

#48254Задание №24ФИПИ

Многоугольники

Биссектрисы углов $C$ и $D$ четырёхугольника $A B C D$ пересекаются в точке $P$ , лежащей на стороне $A B$ . Докажите, что точка $P$ равноудалена
от прямых $B C$ , $C D$ и $A D$ .

Ваше решениедо 2 баллов

Проверка решения с помощью ИИ доступна авторизованным пользователям

Решение.

Для решения задачи воспользуемся основным свойством биссектрисы угла: любая точка, лежащая на биссектрисе угла, равноудалена от сторон этого угла.

1) Рассмотрим угол $C$ четырёхугольника $ABCD$ . По условию, точка $P$ лежит на биссектрисе угла $C$ . Следовательно, расстояние от точки $P$ до прямой $BC$ равно расстоянию от точки $P$ до прямой $CD$ .
Обозначим это расстояние как $h_1$ . Таким образом, $d(P, BC) = d(P, CD) = h_1$ .

2) Теперь рассмотрим угол $D$ четырёхугольника $ABCD$ . По условию, точка $P$ также лежит на биссектрисе угла $D$ . Следовательно, расстояние от точки $P$ до прямой $CD$ равно расстоянию от точки $P$ до прямой $AD$ .
Обозначим это расстояние как $h_2$ . Таким образом, $d(P, CD) = d(P, AD) = h_2$ .

3) Из первого и второго пунктов мы видим, что расстояние от точки $P$ до прямой $CD$ в обоих случаях одно и то же (это перпендикуляр, опущенный из точки $P$ на сторону $CD$ ). Значит, $h_1 = h_2$ .

4) Объединяя полученные равенства, получаем:
$d(P, BC) = d(P, CD) = d(P, AD)$ .

Это означает, что точка $P$ находится на одинаковом расстоянии от прямых $BC$ , $CD$ и $AD$ , то есть она равноудалена от них. Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано.

Источник: ФИПИ