Вариант 1 · Сентябрь 2026

Решение.

Чтобы определить, между какими целыми числами находится корень из некоторого числа, нужно сравнить подкоренное выражение с ближайшими к нему квадратами целых чисел.

1) Вспомним таблицу квадратов для чисел, представленных в вариантах ответа. Нам нужно найти такие два последовательных целых числа, квадраты которых окружают число $67$.

2) Проверим первый вариант (числа $8$ и $9$):
Возведём эти числа в квадрат:
$8^2 = 8 \cdot 8 = 64$
$9^2 = 9 \cdot 9 = 81$

3) Мы видим, что число $67$ находится в промежутке между $64$ и $81$. Запишем это в виде двойного неравенства:
$64 < 67 < 81$

4) Теперь извлечём квадратный корень из каждой части неравенства:
$\sqrt{64} < \sqrt{67} < \sqrt{81}$
$8 < \sqrt{67} < 9$

5) Таким образом, число $\sqrt{67}$ действительно заключено между числами $8$ и $9$. Это соответствует варианту под номером 1.

Для уверенности проверим остальные варианты:
- Вариант 2: $22^2$ — это гораздо больше $67$.
- Вариант 3: $4^2 = 16$, $5^2 = 25$. Число $67$ не попадает в этот интервал.
- Вариант 4: $66^2$ и $68^2$ — это очень большие числа, значительно превышающие $67$.

Ответ: 1

Источник: ФИПИ

Решение.

Для решения данного выражения воспользуемся свойствами степеней. Чтобы производить действия со степенями, удобнее всего привести числа к одному основанию.

1. Заметим, что число $16$ можно представить как степень с основанием $4$. Мы знаем, что $4 \cdot 4 = 16$, следовательно, $16 = 4^{2}$.

2. Перепишем исходное выражение, заменив $16$ на $4^{2}$:
$\frac{4^{5}}{4^{2}}$

3. При делении степеней с одинаковыми основаниями основание остаётся прежним, а показатели вычитаются. Воспользуемся формулой $\frac{a^{n}}{a^{m}} = a^{n-m}$:
$\frac{4^{5}}{4^{2}} = 4^{5-2} = 4^{3}$

4. Теперь возведём число $4$ в третью степень (перемножим три четвёрки):
$4^{3} = 4 \cdot 4 \cdot 4 = 16 \cdot 4 = 64$

Ответ: 64

Источник: ФИПИ

Решение.

Данное уравнение $x^{2} - 6x + 5 = 0$ является полным квадратным уравнением вида $ax^{2} + bx + c = 0$, где коэффициенты равны: $a = 1$, $b = -6$, $c = 5$.

Шаг 1. Найдём дискриминант по формуле $D = b^{2} - 4ac$:
$D = (-6)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 36 - 20 = 16$.
Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных корня.

Шаг 2. Найдём корни уравнения по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
Вычислим корень из дискриминанта: $\sqrt{D} = \sqrt{16} = 4$.
Первый корень: $x_{1} = \frac{-(-6) + 4}{2 \cdot 1} = \frac{6 + 4}{2} = \frac{10}{2} = 5$.
Второй корень: $x_{2} = \frac{-(-6) - 4}{2 \cdot 1} = \frac{6 - 4}{2} = \frac{2}{2} = 1$.

Заметим, что корни также можно было найти по теореме Виета: сумма корней $x_{1} + x_{2} = 6$, а произведение $x_{1} \cdot x_{2} = 5$. Этим условиям удовлетворяют числа 1 и 5.

Шаг 3. Выбор ответа:
По условию задачи, если уравнение имеет более одного корня, в ответ нужно записать меньший из них. Сравним полученные числа: $1 < 5$. Следовательно, меньший корень равен $1$.

Ответ: 1

Источник: ФИПИ

Решение.

Для решения задачи воспользуемся классическим определением вероятности: вероятность события равна отношению количества благоприятных исходов к общему количеству возможных исходов.

1. Сначала найдём количество чашек с синими цветами. По условию всего чашек $25$, из них $7$ с красными цветами. Значит, синих чашек:
$25 - 7 = 18$.

2. Общее число возможных исходов равно общему количеству чашек, то есть $n = 25$.

3. Количество благоприятных исходов (выбор чашки с синими цветами) равно $m = 18$.

4. Вычислим вероятность $P$ по формуле $P = \frac{m}{n}$:
$P = \frac{18}{25}$.

5. Чтобы перевести дробь в десятичный вид, умножим числитель и знаменатель на $4$:
$\frac{18 \cdot 4}{25 \cdot 4} = \frac{72}{100} = 0,72$.

Ответ: 0,72

Источник: ФИПИ

Решение.

Все представленные функции являются прямыми пропорциональностями вида $y = kx$. Графиком такой функции является прямая, проходящая через начало координат — точку $(0; 0)$. Основным параметром здесь является коэффициент $k$, который отвечает за наклон прямой.

1) Рассмотрим знаки коэффициентов:
Если $k > 0$, функция возрастает (идёт снизу вверх, из III четверти в I).
Если $k < 0$, функция убывает (идёт сверху вниз, из II четверти в IV).
У функций А ($y = -3x$) и Б ($y = -\frac{1}{3}x$) коэффициент $k$ отрицательный, значит, их графики убывают. Это графики №1 и №3.
У функции В ($y = \frac{1}{3}x$) коэффициент $k$ положительный, значит, график возрастает. Этому условию соответствует только график №2. Таким образом, В → 2.

2) Теперь разберемся с убывающими графиками №1 и №3 для функций А и Б:
Для функции А ($y = -3x$): если мы возьмём $x = 1$, то $y = -3 \cdot 1 = -3$. Посмотрим на графики. На графике №1 точка с координатами $(1; -3)$ как раз лежит на прямой. Значит, А → 1.
Для функции Б ($y = -\frac{1}{3}x$): если мы возьмём $x = 3$, то $y = -\frac{1}{3} \cdot 3 = -1$. На графике №3 мы видим, что при смещении вправо на 3 клетки прямая опускается вниз на 1 клетку, то есть проходит через точку $(3; -1)$. Значит, Б → 3.

3) Проверим функцию В для уверенности: при $x = 3$ значение $y = \frac{1}{3} \cdot 3 = 1$. График №2 проходит через точку $(3; 1)$, что подтверждает наш выбор.

Заполним итоговое соответствие:
А — 1
Б — 3
В — 2

Ответ: 132

Источник: ФИПИ

Решение.

Для решения задачи воспользуемся данной в условии формулой площади четырёхугольника:
$S = \frac{d_{1} d_{2} \sin \alpha}{2}$.

Выпишем значения величин, которые нам известны из условия:
$S = 5$
$d_{1} = 10$
$\sin \alpha = \frac{1}{11}$

Нам необходимо найти длину диагонали $d_{2}$. Подставим известные значения в формулу:
$5 = \frac{10 \cdot d_{2} \cdot \frac{1}{11}}{2}$

Упростим выражение в правой части уравнения. Сначала сократим числа $10$ и $2$:
$5 = 5 \cdot d_{2} \cdot \frac{1}{11}$

Теперь разделим обе части уравнения на $5$:
$1 = d_{2} \cdot \frac{1}{11}$

Чтобы найти $d_{2}$, нужно $1$ разделить на $\frac{1}{11}$, что равносильно умножению на обратную дробь:
$d_{2} = 1 \cdot 11$
$d_{2} = 11$

Таким образом, длина второй диагонали равна $11$.

Ответ: 11

Источник: ФИПИ

Решение.

Для решения квадратного неравенства $x^{2} - 64 \geq 0$ воспользуемся методом интервалов.

1. Сначала найдём корни соответствующего квадратного уравнения:
$x^{2} - 64 = 0$
Перенесём число $64$ в правую часть уравнения:
$x^{2} = 64$
Отсюда находим два корня:
$x_{1} = 8$
$x_{2} = -8$

2. Эти числа разбивают числовую прямую на три интервала: $(-\infty; -8)$, $(-8; 8)$ и $(8; +\infty)$. Так как неравенство нестрогое ($\geq$), точки $-8$ и $8$ будут закрашенными (входят в решение).

3. Определим знаки выражения $x^{2} - 64$ на каждом интервале. Графиком функции $y = x^{2} - 64$ является парабола, ветви которой направлены вверх (так как коэффициент перед $x^{2}$ положителен). Это значит, что функция принимает положительные значения на крайних промежутках и отрицательные — на среднем.

4. Расставим знаки:
— На промежутке $(-\infty; -8]$ выражение $\geq 0$.
— На промежутке $[-8; 8]$ выражение $\leq 0$.
— На промежутке $[8; +\infty)$ выражение $\geq 0$.

5. Нам нужно найти те значения $x$, при которых выражение больше или равно нулю. Этому условию соответствуют промежутки $(-\infty; -8]$ и $[8; +\infty)$.

Объединяя их, получаем: $(-\infty; -8] \cup [8; +\infty)$. Данный результат соответствует варианту № 2.

Ответ: 2

Источник: ФИПИ

Решение.

Для решения задачи воспользуемся определением периода полураспада. По условию, масса изотопа уменьшается вдвое за фиксированный промежуток времени — 8 минут.

1. Сначала определим, сколько таких периодов (уменьшений вдвое) произойдёт за 32 минуты. Для этого разделим общее время на время одного периода:
$32 : 8 = 4$ (периода).

2. Теперь проследим за изменением массы изотопа поэтапно, начиная с исходного значения $200$ мг:

— Через 8 минут (1-й период): $200 : 2 = 100$ мг;
— Через 16 минут (2-й период): $100 : 2 = 50$ мг;
— Через 24 минуты (3-й период): $50 : 2 = 25$ мг;
— Через 32 минуты (4-й период): $25 : 2 = 12,5$ мг.

Эту же задачу можно решить с помощью формулы геометрической прогрессии, где первый член $b_1 = 200$, а знаменатель $q = \frac{1}{2}$. Так как происходит 4 деления, нам нужно найти 5-й член последовательности (начальный момент + 4 шага):
$b_5 = b_1 \cdot q^4 = 200 \cdot (\frac{1}{2})^4 = 200 \cdot \frac{1}{16} = \frac{200}{16} = 12,5$.

Таким образом, через 32 минуты масса изотопа составит 12,5 мг.

Ответ: 12,5

Источник: ФИПИ

Решение.

Для решения задачи воспользуемся определением тангенса острого угла в прямоугольном треугольнике.

1. Рассмотрим прямоугольный треугольник $A B C$. По условию угол $C$ равен $90^{\circ}$, значит, стороны $A C$ и $B C$ являются катетами, а сторона $A B$ — гипотенузой.

2. Вспомним определение: тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему катету.

3. Нам нужно найти тангенс угла $B$ ($tg B$).
— Катет, лежащий напротив угла $B$, — это $A C$.
— Катет, прилежащий к углу $B$, — это $B C$.

4. Запишем формулу: $tg B = \frac{A C}{B C}$

5. Подставим известные значения сторон из условия задачи ($A C = 3$, $B C = 15$): $tg B = \frac{3}{15}$

6. Сократим полученную дробь на $3$: $tg B = \frac{1}{5}$

7. Переведём обыкновенную дробь в десятичную для записи ответа: $1 : 5 = 0,2$

Ответ: 0,2

Источник: ФИПИ

Решение.

1. Рассмотрим углы, связанные с окружностью. Угол $\angle AOB$ является центральным, так как его вершина находится в центре окружности (точке $O$). По условию $\angle AOB = 115^\circ$.

2. Центральный угол равен градусной мере дуги, на которую он опирается. Следовательно, дуга $AB$, на которую опирается угол $\angle AOB$, равна $115^\circ$.

3. Угол $\angle ACB$ является вписанным, так как его вершина $C$ лежит на окружности, а стороны пересекают окружность. В условии сказано, что точки $O$ и $C$ лежат в одной полуплоскости относительно прямой $AB$. Это означает, что вписанный угол $\angle ACB$ опирается на ту же самую дугу $AB$, что и центральный угол $\angle AOB$.

4. По свойству вписанного угла, его величина равна половине градусной меры дуги, на которую он опирается. Также можно сказать, что вписанный угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу:

$\angle ACB = \frac{1}{2} \cdot \angle AOB$

5. Подставим известное значение центрального угла в формулу:

$\angle ACB = \frac{115^\circ}{2} = 57,5^\circ$

Ответ: 57,5

Источник: ФИПИ

Решение.

1) Пусть биссектриса угла $A$ пересекает сторону $BC$ в некоторой точке $K$. По условию задачи угол между этой биссектрисой и стороной $BC$ равен $15^\circ$. То есть $\angle AKB = 15^\circ$.

2) В параллелограмме $ABCD$ противоположные стороны $AD$ и $BC$ параллельны. Биссектриса $AK$ является секущей для этих параллельных прямых.

3) При пересечении параллельных прямых $AD$ и $BC$ секущей $AK$ образуются накрест лежащие углы, которые равны между собой. Следовательно, $\angle KAD = \angle AKB$. Так как $\angle AKB = 15^\circ$, то и $\angle KAD = 15^\circ$.

4) По определению биссектрисы, луч $AK$ делит угол $A$ параллелограмма пополам. Это значит, что $\angle BAK = \angle KAD$. Поскольку мы нашли, что $\angle KAD = 15^\circ$, то и $\angle BAK = 15^\circ$.

5) Весь угол $A$ параллелограмма состоит из суммы двух этих углов:
$\angle A = \angle BAK + \angle KAD = 15^\circ + 15^\circ = 30^\circ$.

6) Полученное значение $30^\circ$ меньше $90^\circ$, следовательно, этот угол является острым углом параллелограмма.

Ответ: 30

Источник: ФИПИ

Решение.

Для того чтобы найти, во сколько раз площадь большего круга больше площади меньшего, выполним следующие шаги:

1. Вспомним формулу площади круга: $S = \pi \cdot r^2$, где $r$ — радиус круга.

2. Определим радиусы кругов по клеткам на рисунке:
— Радиус меньшего круга $r_1$ равен $1$ клетке.
— Радиус большего круга $r_2$ равен $2$ клеткам.

3. Вычислим площади обоих кругов:
— Площадь меньшего круга: $S_1 = \pi \cdot 1^2 = \pi$.
— Площадь большего круга: $S_2 = \pi \cdot 2^2 = 4\pi$.

4. Чтобы узнать, во сколько раз площадь большего круга больше площади меньшего, разделим $S_2$ на $S_1$:
$\frac{S_2}{S_1} = \frac{4\pi}{\pi} = 4$.

Важное замечание: Отношение площадей подобных фигур (в данном случае кругов) равно квадрату коэффициента подобия. Так как радиус большего круга в $2$ раза больше радиуса меньшего, то его площадь будет больше в $2^2 = 4$ раза.

Ответ: 4

Источник: ФИПИ

Решение.

Разберём каждое из предложенных утверждений по порядку, чтобы определить его истинность:

1) Диагонали ромба равны.
Это утверждение неверно. По определению ромб — это параллелограмм, у которого все стороны равны. Его диагонали обладают свойством взаимной перпендикулярности и являются биссектрисами его углов, но они равны только в частном случае ромба — в квадрате. У обычного ромба одна диагональ всегда больше другой.

2) Отношение площадей подобных треугольников равно коэффициенту подобия.
Это утверждение неверно. Согласно теореме о площадях подобных фигур, отношение площадей двух подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия, то есть $k^2$. Например, если стороны треугольника увеличить в $2$ раза, то его площадь увеличится в $2^2 = 4$ раза.

3) В треугольнике против большего угла лежит большая сторона.
Это утверждение верно. Это одна из фундаментальных теорем геометрии (соотношение между сторонами и углами треугольника). В любом треугольнике напротив самого большого внутреннего угла всегда располагается самая длинная сторона, и наоборот.

Таким образом, истинным является только третье утверждение.

Ответ: 3

Источник: ФИПИ