Координаты вектора и действия с векторами

Вектор $\overrightarrow{AB}$ с началом $A(x_1;\ y_1)$ и концом $B(x_2;\ y_2)$ имеет координаты $(x_2 - x_1;\ y_2 - y_1)$. Из конца вычитают начало, не наоборот. У вектора $\overrightarrow{BA}$ координаты противоположные.

Записи $\vec a(3;\ -2)$, $\vec a = (3;\ -2)$ и $\vec a\{3;\ -2\}$ значат одно и то же. Координаты не зависят от того, где вектор нарисован: равные векторы с разными началами имеют одни и те же координаты.

Координаты суммы равны суммам соответствующих координат: $\vec a + \vec b = (x_1 + x_2;\ y_1 + y_2)$. Координаты разности равны разностям: $\vec a - \vec b = (x_1 - x_2;\ y_1 - y_2)$. Вычитание отрицательной координаты даёт плюс: $3 - (-1) = 4$.

На рисунке сумма — диагональ параллелограмма, построенного на $\vec a$ и $\vec b$ из общего начала. Разность $\vec a - \vec b$ идёт из конца $\vec b$ в конец $\vec a$.

Чтобы умножить вектор на число, умножьте на это число каждую координату: $k\vec a = (kx;\ ky)$. Длина вектора умножается на $|k|$. При $k > 0$ направление то же, при $k < 0$ — противоположное.

Вектор $-\vec a = (-x;\ -y)$ противоположен $\vec a$. Минус меняет знак обеих координат.

Вектор $k\vec a + m\vec b$ находят в два шага. Сначала умножьте каждый вектор на его число вместе со знаком перед ним: $\vec a - 4\vec b = \vec a + (-4)\vec b$. Потом сложите по координатам. Так же считают выражения из трёх векторов, например $\vec a - \vec b + \vec c$.

Ошибаются чаще всего в знаке: если у $\vec b$ координата $-5$, то у $-4\vec b$ она равна $+20$. После этого в задании 2 обычно находят длину или скалярное произведение полученного вектора.