тема 5 из 6

Длина вектора

Длина вектора равна корню из суммы квадратов его координат: $|\vec a| = \sqrt{x^2 + y^2}$ . Это теорема Пифагора: координаты — катеты, вектор — гипотенуза. Чтобы найти длину вектора вида $\vec a - 4\vec b$ , сначала найдите его координаты.

Часто в задании2На карте навыков

Длина вектора и линейной комбинации векторов
—В аналитике

Длина — корень из суммы квадратов координат

Длина вектора $\vec a(x;\ y)$ равна $|\vec a| = \sqrt{x^2 + y^2}$ .

Сначала найдите координаты того вектора, длину которого спрашивают.
Возведите каждую координату в квадрат: знак пропадает, $(-4)^2 = 16$ .
Сложите квадраты и извлеките корень.
Длину суммы нельзя найти сложением длин: $|\vec a + \vec b|$ обычно не равна $|\vec a| + |\vec b|$ .

Длина по координатам

Вектор $\vec a(x;\ y)$ — гипотенуза прямоугольного треугольника с катетами $|x|$ и $|y|$ . По теореме Пифагора $|\vec a|^2 = x^2 + y^2$ , поэтому $|\vec a| = \sqrt{x^2 + y^2}$ . Если одна координата равна нулю, длина равна модулю другой: у вектора $(-5;\ 0)$ длина 5.

В задании 2 под корнем обычно выходит точный квадрат. Его помогают узнать пифагоровы тройки и кратные им.

Пример

Найдите длину вектора $\vec a(-6;\ 8)$ .

Катеты 6 и 8 клеток, вектор — гипотенуза прямоугольного треугольника.

1. $|\vec a| = \sqrt{(-6)^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100}$ .
2. $\sqrt{100} = 10$ : это тройка $3,\ 4,\ 5$ , умноженная на 2.

Ответ: $10$

Длина вектора на клетках

\vec a = (4;\ 3)

|\vec a| = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{25} = 5

Катеты: $4$ и $3$ , длина вектора — гипотенуза $5$ .

Наклонный вектор — гипотенуза, модули его координат — катеты. Двигайте начало

A

и конец

B

Длина суммы и выражения из векторов

Чтобы найти длину вектора $k\vec a + m\vec b$ , сначала найдите его координаты. Потом найдите длину по формуле $\sqrt{x^2 + y^2}$ . Длины $\vec a$ и $\vec b$ по отдельности не нужны: из них длину суммы не получить.

Ответ задания целый или конечная десятичная дробь, поэтому под корнем выходит точный квадрат. Если квадрат не точный, проверьте знаки координат.

Пример задания

Открытый банк ФИПИ

Даны векторы $\overset{\rightarrow}{a} ( 25 ; 0 )$ и $\overset{\rightarrow}{b} ( 1 ; - 5 ) .$ Найдите длину вектора $\overset{\rightarrow}{a} - 4 \overset{\rightarrow}{b} .$

Правильный ответ

Пояснение

$4\vec b = (4 \cdot 1;\ 4 \cdot (-5)) = (4;\ -20)$ .
$\vec a - 4\vec b = (25 - 4;\ 0 - (-20)) = (21;\ 20)$ : минус перед $-20$ даёт плюс.
$|\vec a - 4\vec b| = \sqrt{21^2 + 20^2} = \sqrt{441 + 400} = \sqrt{841} = 29$ . Ответ: 29.

Проверьте себя

Потренируйте навык

Все задания на этот навык

Решать