Задание №8 — Геометрический смысл производной

Решение:Для нахождения значения производной в заданной точке воспользуемся её геометрическим смыслом: $f'(x_0) = \text{tg}\,\alpha$, где $\alpha$ — угол, который образует касательная с положительным направлением оси $Ox$. Выберем на касательной две точки с целыми координатами и построим прямоугольный треугольник. Удобно взять вершины в точках $(-8; 3)$, $(-8; -1)$ и $(-3; -1)$. Длина вертикального катета (противолежащего для острого угла треугольника) составляет $3 - (-1) = 4$, а горизонтального катета (прилежащего) равна $-3 - (-8) = 5$. Тангенс острого угла этого треугольника равен отношению противолежащего катета к прилежащему: $\frac{4}{5} = 0,8$. Заметим, что касательная убывает, а значит, она образует с положительным направлением оси абсцисс тупой угол. Тангенс тупого угла равен тангенсу смежного с ним острого угла, взятому с противоположным знаком. Следовательно, искомое значение производной равно $-0,8$.

Ответ: -0,8