Решение:
Для нахождения площади заштрихованной криволинейной трапеции воспользуемся формулой Ньютона — Лейбница. Искомая величина вычисляется как разность значений первообразной функции в конечной и начальной точках отрезка интегрирования, то есть $S = F(3) - F(1)$.
Подставим абсциссы границ $x = 3$ и $x = 1$ в выражение для первообразной:
$$S = \left( \frac{1}{2} \cdot 3^{3} - \frac{9}{2} \cdot 3^{2} + 15 \cdot 3 - 5 \right) - \left( \frac{1}{2} \cdot 1^{3} - \frac{9}{2} \cdot 1^{2} + 15 \cdot 1 - 5 \right) =$$ $$= \frac{27}{2} - \frac{81}{2} + 45 - 5 - \frac{1}{2} + \frac{9}{2} - 15 + 5 = 7.$$

Ответ: 7