Задание №8 — Геометрический смысл производной

Решение:
Согласно геометрическому смыслу производной, значение $f'(x_0)$ совпадает с тангенсом угла, который образует касательная с положительным направлением оси абсцисс. ⟦IMG_0/⟧ Для вычисления этого значения воспользуемся прямоугольным треугольником, вершины которого находятся в точках с координатами $(-2; 3)$, $(-2; -5)$ и $(-6; -5)$. Длина вертикального катета (противолежащего искомому углу) составляет $3 - (-5) = 8$, а длина горизонтального катета (прилежащего) равна $-2 - (-6) = 4$. Таким образом, тангенс угла наклона касательной равен отношению противолежащего катета к прилежащему: $$\text{tg}\,\alpha = \frac{8}{4} = 2.$$ Следовательно, значение производной в точке $x_0$ равно $2$.

Ответ: 2