Задание №8 — Алгебраические выражения

Решение.

Для решения данного примера воспользуемся свойствами умножения и свойствами квадратных корней.

Шаг 1. Группировка множителей.
В выражении $4 \sqrt{17} \cdot 5 \sqrt{2} \cdot \sqrt{34}$ мы можем отдельно перемножить целые числа (коэффициенты перед корнями) и отдельно — подкоренные выражения. Напомним, что произведение корней равно корню из произведения: $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b}$.
Перегруппируем множители:
$(4 \cdot 5) \cdot (\sqrt{17} \cdot \sqrt{2} \cdot \sqrt{34})$

Шаг 2. Вычисление произведения целых чисел.
$4 \cdot 5 = 20$

Шаг 3. Работа с корнями.
Сначала перемножим первые два корня:
$\sqrt{17} \cdot \sqrt{2} = \sqrt{17 \cdot 2} = \sqrt{34}$
Теперь подставим это значение обратно в выражение:
$20 \cdot (\sqrt{34} \cdot \sqrt{34})$

Шаг 4. Извлечение корня.
По определению квадратного корня, произведение двух одинаковых корней даёт само подкоренное число: $\sqrt{a} \cdot \sqrt{a} = (\sqrt{a})^2 = a$.
Следовательно:
$\sqrt{34} \cdot \sqrt{34} = 34$

Шаг 5. Финальное умножение.
Нам осталось умножить полученный коэффициент на результат извлечения корня:
$20 \cdot 34 = 680$

Ответ: 680

Источник: ФИПИ