Задание №8 — Алгебраические выражения

Решение.

1. Сначала упростим выражение под знаком корня. Заметим, что выражение $25a^2 + 10ab + b^2$ представляет собой квадрат суммы.
Вспомним формулу сокращённого умножения: $(x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$.
В нашем случае:
$25a^2 = (5a)^2$,
$b^2 = (b)^2$,
$10ab = 2 \cdot (5a) \cdot b$.
Следовательно, $25a^2 + 10ab + b^2 = (5a + b)^2$.

2. Подставим это в исходное выражение:
$\sqrt{25a^2 + 10ab + b^2} = \sqrt{(5a + b)^2}$.
По свойству корня $\sqrt{x^2} = |x|$, поэтому наше выражение равно $|5a + b|$.

3. Теперь подставим числовые значения $a = \frac{4}{9}$ и $b = 3 \frac{7}{9}$ в полученное выражение. Сначала переведём смешанное число $b$ в неправильную дробь:
$b = 3 \frac{7}{9} = \frac{3 \cdot 9 + 7}{9} = \frac{27 + 7}{9} = \frac{34}{9}$.

4. Вычислим значение суммы внутри модуля:
$5a + b = 5 \cdot \frac{4}{9} + \frac{34}{9} = \frac{20}{9} + \frac{34}{9} = \frac{20 + 34}{9} = \frac{54}{9}$.
Разделим $54$ на $9$:
$\frac{54}{9} = 6$.

5. Так как число $6$ положительное, то $|6| = 6$.

Ответ: 6

Источник: ФИПИ