Задание №8 — Алгебраические выражения

Решение.

Для решения данного примера воспользуемся свойствами степеней. Наша цель — привести все числа к одинаковым основаниям, чтобы упростить дробь.

1. Рассмотрим знаменатель дроби: $21^{10}$. Заметим, что число $21$ можно представить как произведение простых множителей: $21 = 3 \cdot 7$.
Тогда, согласно свойству степени произведения $(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$, мы можем записать:
$21^{10} = (3 \cdot 7)^{10} = 3^{10} \cdot 7^{10}$.

2. Подставим полученное выражение в исходную дробь:
$\frac{3^{13} \cdot 7^{10}}{3^{10} \cdot 7^{10}}$.

3. Теперь мы можем сократить дробь. Заметим, что в числителе и знаменателе есть одинаковый множитель $7^{10}$. Разделим на него:
$\frac{3^{13} \cdot 7^{10}}{3^{10} \cdot 7^{10}} = \frac{3^{13}}{3^{10}}$.

4. При делении степеней с одинаковыми основаниями показатели вычитаются ($\frac{a^n}{a^m} = a^{n-m}$):
$\frac{3^{13}}{3^{10}} = 3^{13 - 10} = 3^3$.

5. Вычислим значение полученной степени:
$3^3 = 3 \cdot 3 \cdot 3 = 27$.

Ответ: 27

Источник: ФИПИ