Задание №16 — Геометрия

Решение.

1) Рассмотрим треугольник $A B C$. По условию угол $C = 90^\circ$, значит, треугольник является прямоугольным. Стороны $A C = 16$ и $B C = 12$ являются катетами, а сторона $A B$ — гипотенузой.

2) Вспомним важное свойство из курса геометрии: центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, лежит на середине его гипотенузы. Это означает, что гипотенуза $A B$ является диаметром этой окружности, а радиус $R$ равен половине гипотенузы: $R = \frac{A B}{2}$.

3) Найдем длину гипотенузы $A B$ по теореме Пифагора:
$A B^2 = A C^2 + B C^2$
Подставим известные значения катетов:
$A B^2 = 16^2 + 12^2$
$A B^2 = 256 + 144$
$A B^2 = 400$
Отсюда $A B = \sqrt{400} = 20$.

4) Теперь вычислим радиус описанной окружности, разделив гипотенузу пополам:
$R = \frac{A B}{2} = \frac{20}{2} = 10$.

Ответ: 10

Источник: ФИПИ