Задание №16 — Геометрия

Решение.

1) Рассмотрим углы при центре окружности. Углы $\angle AOD$ и $\angle BOC$ являются вертикальными, так как они образованы пересекающимися прямыми (диаметрами) $AC$ и $BD$. По свойству вертикальных углов:
$\angle BOC = \angle AOD = 86^\circ$.

2) Рассмотрим треугольник $BOC$. Точки $B$ и $C$ лежат на окружности, а точка $O$ является её центром. Следовательно, отрезки $OB$ и $OC$ являются радиусами окружности.
Так как $OB = OC$, треугольник $BOC$ — равнобедренный с основанием $BC$.

3) В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Значит, $\angle OBC = \angle OCB$ (угол $\angle OCB$ — это тот же самый угол $\angle ACB$, который нам нужно найти).

4) Сумма углов в любом треугольнике равна $180^\circ$. Для треугольника $BOC$ запишем:
$\angle BOC + \angle OBC + \angle OCB = 180^\circ$.
Подставим известные значения и равенство углов:
$86^\circ + 2 \cdot \angle ACB = 180^\circ$.

5) Решим полученное уравнение:
$2 \cdot \angle ACB = 180^\circ - 86^\circ$;
$2 \cdot \angle ACB = 94^\circ$;
$\angle ACB = 94^\circ : 2$;
$\angle ACB = 47^\circ$.

Ответ: 47

Источник: ФИПИ