Задание №16 — Геометрия

Решение.

Для решения этой задачи воспользуемся теоремой синусов. Согласно этой теореме, отношение стороны треугольника к синусу противолежащего ей угла равно двум радиусам описанной около этого треугольника окружности.

Запишем формулу для стороны $A B$ и противолежащего ей угла $C$:
$\frac{A B}{\sin C} = 2 R$,
где $R$ — радиус описанной окружности.

1) Нам известно, что $A B = 22 \sqrt{3}$ и $\angle C = 120^\circ$. Подставим эти значения в формулу:
$2 R = \frac{22 \sqrt{3}}{\sin 120^\circ}$

2) Вспомним значение синуса для угла $120^\circ$. По формулам приведения:
$\sin 120^\circ = \sin(180^\circ - 60^\circ) = \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$

3) Теперь подставим значение синуса в наше уравнение:
$2 R = \frac{22 \sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$

4) Упростим выражение в правой части. При делении на дробь мы умножаем на обратную ей дробь:
$2 R = 22 \sqrt{3} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}}$

5) Сократим $\sqrt{3}$ в числителе и знаменателе:
$2 R = 22 \cdot 2$
$2 R = 44$

6) Чтобы найти радиус $R$, разделим обе части уравнения на $2$:
$R = \frac{44}{2}$
$R = 22$

Ответ: 22

Источник: ФИПИ