Задание №16 — Геометрия

Решение.

1) Рассмотрим треугольник $BOC$. Точка $O$ является центром окружности, а отрезки $OC$ и $OB$ — её радиусами. Так как все радиусы одной окружности равны, то $OC = OB$. Следовательно, треугольник $BOC$ — равнобедренный с основанием $BC$.

2) В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Значит, $\angle OBC = \angle OCB$. По условию задачи $\angle ACB = 78^\circ$, что и есть угол $\angle OCB$. Таким образом, $\angle OBC = 78^\circ$.

3) Сумма углов в любом треугольнике равна $180^\circ$. Найдем угол $BOC$ при вершине треугольника:
$\angle BOC = 180^\circ - (\angle OBC + \angle OCB) = 180^\circ - (78^\circ + 78^\circ) = 180^\circ - 156^\circ = 24^\circ$.

4) Заметим, что углы $BOC$ и $AOD$ являются вертикальными, так как они образованы пересечением двух прямых (диаметров) $AC$ и $BD$. По свойству вертикальных углов они равны:
$\angle AOD = \angle BOC = 24^\circ$.

Ответ: 24

Источник: ФИПИ