Задание №16 — Геометрия

Решение.

1) Рассмотрим углы при центре окружности. По условию $AC$ и $BD$ — диаметры, которые пересекаются в точке $O$. Углы $\angle AOD$ и $\angle BOC$ являются вертикальными. Как известно, вертикальные углы равны, следовательно:
$\angle BOC = \angle AOD = 108^{\circ}$.

2) Теперь рассмотрим треугольник $BOC$. Точка $O$ является центром окружности, а отрезки $OB$ и $OC$ — это радиусы этой окружности. Значит, $OB = OC$.
Следовательно, треугольник $BOC$ — равнобедренный с основанием $BC$.

3) В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, то есть $\angle OCB = \angle OBC$.
Нам нужно найти угол $ACB$, который в треугольнике $BOC$ совпадает с углом $\angle OCB$.

4) Сумма углов любого треугольника равна $180^{\circ}$. Для треугольника $BOC$ запишем:
$\angle BOC + \angle OBC + \angle OCB = 180^{\circ}$.
Так как $\angle OBC = \angle OCB$, подставим известные значения:
$108^{\circ} + 2 \cdot \angle OCB = 180^{\circ}$.

5) Выразим искомый угол:
$2 \cdot \angle OCB = 180^{\circ} - 108^{\circ}$;
$2 \cdot \angle OCB = 72^{\circ}$;
$\angle OCB = 72^{\circ} : 2 = 36^{\circ}$.

Таким образом, угол $ACB = 36^{\circ}$.

Ответ: 36

Источник: ФИПИ