Задание №16 — Геометрия

Решение.

Для решения этой задачи воспользуемся свойствами вписанных углов окружности.

1) Рассмотрим угол $CAD$. По условию он равен $19^\circ$. Этот угол является вписанным и опирается на дугу $CD$.
Вспомним важное свойство: вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.
На эту же дугу $CD$ опирается вписанный угол $CBD$. Следовательно: $\angle CBD = \angle CAD = 19^\circ$.

2) Теперь обратим внимание на искомый угол $ABC$. На рисунке видно, что луч $BD$ проходит внутри угла $ABC$, разделяя его на две части: угол $ABD$ и угол $CBD$.
Значит, величина всего угла $ABC$ равна сумме величин этих двух углов: $\angle ABC = \angle ABD + \angle CBD$.

3) Подставим известные значения в полученное выражение:
По условию $\angle ABD = 85^\circ$, а из первого шага мы выяснили, что $\angle CBD = 19^\circ$.
Выполним сложение: $\angle ABC = 85^\circ + 19^\circ = 104^\circ$.

Ответ: 104

Источник: ФИПИ