Задание №16 — Геометрия

Решение.

1) Рассмотрим треугольник $BOC$. Точка $O$ является центром окружности, а отрезки $OB$ и $OC$ — её радиусами. Так как все радиусы одной окружности равны, то $OB = OC$. Следовательно, треугольник $BOC$ является равнобедренным с основанием $BC$.

2) В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Значит, $\angle OBC = \angle OCB$. По условию задачи $\angle ACB = 74^\circ$, что и есть $\angle OCB$. Таким образом, $\angle OBC = 74^\circ$.

3) Сумма углов в любом треугольнике равна $180^\circ$. Найдём угол $BOC$ при вершине треугольника:
$\angle BOC = 180^\circ - (\angle OBC + \angle OCB) = 180^\circ - (74^\circ + 74^\circ) = 180^\circ - 148^\circ = 32^\circ$.

4) Отрезки $AC$ и $BD$ являются диаметрами и пересекаются в точке $O$. Углы $AOD$ и $BOC$ являются вертикальными. По свойству вертикальных углов они равны между собой:
$\angle AOD = \angle BOC = 32^\circ$.

Ответ: 32

Источник: ФИПИ