Задание №16 — Геометрия

Решение.

1) Рассмотрим треугольник $BOC$. Точка $O$ является центром окружности, а отрезки $OB$ и $OC$ — это радиусы этой окружности. Следовательно, $OB = OC$, а значит, треугольник $BOC$ является равнобедренным с основанием $BC$.

2) В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. По условию задачи угол $ACB$ (который в треугольнике $BOC$ является углом $OCB$) равен $16^\circ$. Значит, угол $OBC = \angle OCB = 16^\circ$.

3) Сумма углов в любом треугольнике равна $180^\circ$. Найдём угол $BOC$ при вершине треугольника:
$\angle BOC = 180^\circ - (\angle OBC + \angle OCB) = 180^\circ - (16^\circ + 16^\circ) = 180^\circ - 32^\circ = 148^\circ$.

4) Отрезки $AC$ и $BD$ являются диаметрами окружности и пересекаются в точке $O$. Углы $BOC$ и $AOD$ являются вертикальными углами. По свойству вертикальных углов они равны между собой.

5) Таким образом, $\angle AOD = \angle BOC = 148^\circ$.

Ответ: 148

Источник: ФИПИ