Задание №16 — Геометрия

Решение.

Для решения задачи воспользуемся свойствами равностороннего (правильного) треугольника и вписанной в него окружности.

1. Пусть $a$ — длина стороны равностороннего треугольника, а $r$ — радиус вписанной в него окружности. По условию задачи $r = 5\sqrt{3}$.

2. Вспомним формулу, связывающую радиус вписанной окружности $r$ и сторону $a$ правильного треугольника:
$r = \frac{a\sqrt{3}}{6}$.

3. Подставим известное значение радиуса в эту формулу, чтобы найти сторону $a$:
$5\sqrt{3} = \frac{a\sqrt{3}}{6}$.

4. Чтобы выразить $a$, умножим обе части уравнения на $6$:
$6 \cdot 5\sqrt{3} = a\sqrt{3}$
$30\sqrt{3} = a\sqrt{3}$.

5. Теперь разделим обе части уравнения на $\sqrt{3}$:
$a = \frac{30\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$
$a = 30$.

Таким образом, длина стороны треугольника равна $30$.

Ответ: 30

Источник: ФИПИ