Задание №16 — Геометрия

Решение.

Для решения задачи воспользуемся свойствами правильного (равностороннего) треугольника. На рисунке изображён равносторонний треугольник, вписанный в окружность.

1) Пусть $a$ — сторона равностороннего треугольника, а $R$ — радиус описанной около него окружности. По условию задачи сторона треугольника $a = 6\sqrt{3}$.

2) Существует стандартная формула, связывающая сторону правильного треугольника и радиус описанной окружности:
$R = \frac{a}{\sqrt{3}}$

3) Подставим известное значение стороны $a$ в эту формулу:
$R = \frac{6\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

4) Сократим дробь на $\sqrt{3}$:
$R = 6$

Альтернативный способ (через теорему синусов):
В любом треугольнике отношение стороны к синусу противолежащего угла равно двум радиусам описанной окружности: $\frac{a}{\sin \alpha} = 2R$.
В равностороннем треугольнике все углы равны $60^{\circ}$.
$2R = \frac{6\sqrt{3}}{\sin 60^{\circ}}$
$2R = \frac{6\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$
$2R = 6\sqrt{3} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}}$
$2R = 12$
$R = 6$

Ответ: 6

Источник: ФИПИ