Задание №16 — Геометрия

Решение.

Для решения задачи воспользуемся свойствами правильного (равностороннего) треугольника. На рисунке изображён равносторонний треугольник, вписанный в окружность.

1. Обозначим сторону равностороннего треугольника как $a$. По условию задачи $a = 12\sqrt{3}$.

2. Вспомним формулу, которая связывает радиус описанной окружности $R$ и сторону правильного треугольника $a$:
$R = \frac{a}{\sqrt{3}}$

3. Подставим известное значение стороны $a$ в эту формулу:
$R = \frac{12\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

4. Сократим дробь на корень из трёх ($\sqrt{3}$):
$R = 12$

Альтернативный способ:
Можно использовать теорему синусов. Для любого треугольника $\frac{a}{\sin \alpha} = 2R$. В равностороннем треугольнике все углы равны $60^{\circ}$.
Тогда $2R = \frac{12\sqrt{3}}{\sin 60^{\circ}}$.
Так как $\sin 60^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}$, получаем:
$2R = \frac{12\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 12\sqrt{3} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} = 24$.
Отсюда $R = 24 : 2 = 12$.

Ответ: 12

Источник: ФИПИ