Задание №16 — Геометрия

Решение.

1) Рассмотрим треугольник $ANB$. Точка $N$ лежит на окружности, а сторона $AB$ является диаметром этой окружности. По свойству вписанного угла, опирающегося на диаметр, угол $ANB$ равен $90^\circ$. Таким образом, треугольник $ANB$ — прямоугольный.

2) В прямоугольном треугольнике $ANB$ сумма острых углов равна $90^\circ$. Нам известен угол $\angle NBA = 68^\circ$. Найдём угол $\angle NAB$:
$\angle NAB = 90^\circ - \angle NBA = 90^\circ - 68^\circ = 22^\circ$.

3) Угол $\angle NAB$ является вписанным углом, который опирается на дугу $NB$. По свойству вписанных углов, величина угла равна половине дуги, на которую он опирается. Значит, дуга $NB = 2 \cdot \angle NAB = 2 \cdot 22^\circ = 44^\circ$.

4) Теперь рассмотрим искомый угол $\angle NMB$. Это также вписанный угол, и он опирается на ту же самую дугу $NB$. Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны между собой.

5) Следовательно, $\angle NMB = \angle NAB = 22^\circ$.

Ответ: 22

Источник: ФИПИ