Задание №16 — Геометрия

Решение.

Для решения задачи воспользуемся свойствами равностороннего (правильного) треугольника.

1. Пусть $a$ — сторона равностороннего треугольника. По условию задачи $a = 6\sqrt{3}$.

2. Вспомним формулу высоты $h$ равностороннего треугольника через его сторону:
$h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.

3. Подставим значение стороны в эту формулу:
$h = \frac{6\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}{2}$.
Так как $\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 3$, получаем:
$h = \frac{6 \cdot 3}{2} = \frac{18}{2} = 9$.

4. В равностороннем треугольнике центр вписанной окружности совпадает с точкой пересечения медиан, биссектрис и высот. Известно, что медианы точкой пересечения делятся в отношении $2:1$, считая от вершины.
Радиус вписанной окружности $r$ равен расстоянию от центра до стороны, то есть он составляет одну третью часть высоты:
$r = \frac{1}{3}h$.

5. Вычислим радиус:
$r = \frac{1}{3} \cdot 9 = 3$.

Ответ: 3

Источник: ФИПИ