Задание №8 — Алгебраические выражения

Решение.

Для решения данного примера воспользуемся свойствами степеней и определением квадратного корня.

1. Вспомним основное свойство квадратного корня: для любого неотрицательного числа $a$ и натурального числа $n$ справедливо равенство $\sqrt{a^{2n}} = a^{n}$. Это происходит потому, что извлечение квадратного корня — это действие, обратное возведению в квадрат.

2. Представим показатель степени под корнем в виде произведения, чтобы выделить квадрат:
$9^{4} = 9^{2 \cdot 2} = (9^{2})^{2}$.

3. Теперь подставим это выражение под знак корня:
$\sqrt{9^{4}} = \sqrt{(9^{2})^{2}}$.

4. Согласно свойству корня, корень из квадрата числа равен самому этому числу (так как основание $9$ положительно):
$\sqrt{(9^{2})^{2}} = 9^{2}$.

5. Возведём число $9$ во вторую степень (умножим $9$ на $9$):
$9^{2} = 9 \cdot 9 = 81$.

Ответ: 81

Источник: ФИПИ