Задание №16 — Геометрия

Решение.

1) Рассмотрим треугольник $BOC$. Точка $O$ является центром окружности, а отрезки $OB$ и $OC$ — её радиусами. Так как все радиусы одной окружности равны, то $OB = OC$. Следовательно, треугольник $BOC$ является равнобедренным с основанием $BC$.

2) В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Значит, $\angle OBC = \angle OCB$. По условию задачи $\angle ACB = 62^\circ$, следовательно, $\angle OCB = 62^\circ$, и тогда $\angle OBC = 62^\circ$.

3) Сумма углов в любом треугольнике равна $180^\circ$. Найдем угол $BOC$ при вершине треугольника:
$\angle BOC = 180^\circ - (\angle OBC + \angle OCB) = 180^\circ - (62^\circ + 62^\circ) = 180^\circ - 124^\circ = 56^\circ$.

4) Отрезки $AC$ и $BD$ — диаметры окружности, которые пересекаются в точке $O$. Углы $AOD$ и $BOC$ являются вертикальными. По свойству вертикальных углов они равны:
$\angle AOD = \angle BOC = 56^\circ$.

Ответ: 56

Источник: ФИПИ