Задание №16 — Геометрия

Решение.

Для решения этой задачи воспользуемся свойствами вписанных углов окружности.

1) Рассмотрим угол $CAD$. По условию $\angle CAD = 83^\circ$. Этот угол является вписанным и опирается на дугу $CD$. Согласно свойству вписанных углов, величина вписанного угла равна половине дуги, на которую он опирается. Значит, дуга $CD = 2 \cdot \angle CAD = 2 \cdot 83^\circ = 166^\circ$.

2) Теперь рассмотрим угол $CBD$. Он также является вписанным и опирается на ту же самую дугу $CD$. Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны между собой. Следовательно:
$\angle CBD = \angle CAD = 83^\circ$.

3) По рисунку видно, что искомый угол $ABD$ и найденный нами угол $CBD$ в сумме составляют угол $ABC$, величина которого дана в условии ($138^\circ$):
$\angle ABC = \angle ABD + \angle CBD$.

4) Из этого равенства выразим искомый угол $ABD$:
$\angle ABD = \angle ABC - \angle CBD$.
Подставим известные значения:
$\angle ABD = 138^\circ - 83^\circ = 55^\circ$.

Ответ: 55

Источник: ФИПИ