Задание №16 — Геометрия

Решение. Для решения этой задачи воспользуемся свойствами вписанных углов в окружности.

1) Рассмотрим искомый угол $A B C$. На рисунке видно, что луч $B D$ делит этот угол на две части: угол $A B D$ и угол $D B C$. Таким образом:
$\angle A B C = \angle A B D + \angle D B C$.

2) По условию задачи нам уже известен угол $\angle A B D = 78^{\circ}$. Чтобы найти весь угол $A B C$, нам необходимо вычислить величину угла $D B C$.

3) Заметим, что углы $D B C$ и $C A D$ являются вписанными в одну и ту же окружность. Оба этих угла опираются на одну и ту же дугу $C D$.
Согласно свойству вписанных углов, углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны между собой.
Следовательно, $\angle D B C = \angle C A D$.

4) По условию $\angle C A D = 40^{\circ}$, значит, и $\angle D B C = 40^{\circ}$.

5) Теперь мы можем найти искомую величину угла $A B C$, сложив его части:
$\angle A B C = 78^{\circ} + 40^{\circ} = 118^{\circ}$.

Ответ: 118

Источник: ФИПИ