Задание №16 — Геометрия

Решение.

Для решения этой задачи воспользуемся свойствами вписанных углов окружности.

1) Рассмотрим угол $\angle CAD$. По условию он равен $70^\circ$. Этот угол является вписанным и опирается на дугу $CD$. Согласно свойству вписанных углов, величина дуги в два раза больше величины вписанного угла, который на неё опирается. Значит, дуга $\cup CD = 2 \cdot \angle CAD = 2 \cdot 70^\circ = 140^\circ$.

2) Теперь обратим внимание на угол $\angle CBD$. Он также является вписанным и опирается на ту же самую дугу $CD$. Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны между собой. Следовательно, $\angle CBD = \angle CAD = 70^\circ$.

3) По условию задачи нам известен весь угол $\angle ABC$, который равен $112^\circ$. Из рисунка видно, что луч $BD$ проходит внутри угла $\angle ABC$, разделяя его на две части: $\angle ABD$ и $\angle CBD$.

4) Таким образом, искомый угол $\angle ABD$ можно найти как разность целого угла и его известной части:
$\angle ABD = \angle ABC - \angle CBD$
$\angle ABD = 112^\circ - 70^\circ = 42^\circ$.

Ответ: 42

Источник: ФИПИ