Задание №16 — Геометрия

Решение.

1) Рассмотрим треугольник $A B C$. По условию угол $C = 90^\circ$, значит, данный треугольник является прямоугольным. Стороны $A C = 40$ и $B C = 30$ являются его катетами, а сторона $A B$ — гипотенузой.

2) Вспомним важное свойство из курса геометрии: центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, лежит на середине его гипотенузы. Это означает, что гипотенуза $A B$ является диаметром этой окружности, а радиус $R$ равен половине гипотенузы: $R = \frac{A B}{2}$.

3) Найдем длину гипотенузы $A B$ по теореме Пифагора:
$A B^2 = A C^2 + B C^2$
Подставим известные значения катетов:
$A B^2 = 40^2 + 30^2$
$A B^2 = 1600 + 900$
$A B^2 = 2500$
Отсюда $A B = \sqrt{2500} = 50$.

4) Теперь вычислим радиус описанной окружности, разделив длину гипотенузы пополам:
$R = \frac{A B}{2} = \frac{50}{2} = 25$.

Ответ: 25

Источник: ФИПИ