Задание №16 — Геометрия

Решение.

Для решения этой задачи воспользуемся свойствами вписанных углов окружности.

1) Рассмотрим вписанный угол $ABC$. По свойству вписанного угла, он равен половине дуги, на которую опирается. Значит, дуга $ADC$, на которую опирается угол $ABC$, равна:
$\cup ADC = 2 \cdot \angle ABC = 2 \cdot 120^{\circ} = 240^{\circ}$.

2) Вся окружность составляет $360^{\circ}$. Зная дугу $ADC$, мы можем найти оставшуюся дугу $ABC$:
$\cup ABC = 360^{\circ} - \cup ADC = 360^{\circ} - 240^{\circ} = 120^{\circ}$.

3) Теперь рассмотрим вписанный угол $CAD$. Он опирается на дугу $CD$. Следовательно, величина дуги $CD$ в два раза больше самого угла:
$\cup CD = 2 \cdot \angle CAD = 2 \cdot 74^{\circ} = 148^{\circ}$.

4) Заметим, что дуга $ADC$ состоит из суммы двух дуг: $\cup AD$ и $\cup CD$. Отсюда мы можем найти дугу $AD$:
$\cup AD = \cup ADC - \cup CD = 240^{\circ} - 148^{\circ} = 92^{\circ}$.

5) Искомый угол $ABD$ также является вписанным и опирается на дугу $AD$. По свойству вписанного угла:
$\angle ABD = \frac{1}{2} \cdot \cup AD = \frac{1}{2} \cdot 92^{\circ} = 46^{\circ}$.

Ответ: 46

Источник: ФИПИ