Задание №16 — Геометрия

Решение.

1. Пусть сторона квадрата $A B C D$ равна $a$. Тогда все его стороны равны: $A D = D C = C B = B A = a$, а все углы прямые ($90^\circ$).

2. По условию точка $O$ является серединой стороны $C D$. Следовательно, отрезок $O D$ равен половине стороны квадрата:
$O D = \frac{1}{2} C D = \frac{a}{2}$.

3. Рассмотрим прямоугольный треугольник $A D O$. Угол $D$ в нём прямой, так как это угол квадрата. В этом треугольнике:
— катет $A D = a$;
— катет $O D = \frac{a}{2}$;
— гипотенуза $A O$ является радиусом окружности, так как окружность с центром в точке $O$ проходит через вершину $A$. По условию $A O = \sqrt{5}$.

4. Применим теорему Пифагора для треугольника $A D O$:
$A D^2 + O D^2 = A O^2$.
Подставим известные значения:
$a^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2 = (\sqrt{5})^2$.

5. Решим полученное уравнение:
$a^2 + \frac{a^2}{4} = 5$.
Приведем к общему знаменателю:
$\frac{4a^2 + a^2}{4} = 5$;
$\frac{5a^2}{4} = 5$.
Разделим обе части уравнения на 5:
$\frac{a^2}{4} = 1$;
$a^2 = 4$.

6. Площадь квадрата $S$ вычисляется по формуле $S = a^2$. Мы уже нашли, что $a^2 = 4$, следовательно, площадь квадрата равна 4.

Ответ: 4

Источник: ФИПИ