Задание №22 — Алгебраические выражения

Решение.

1. Область определения функции.
Функция определена, когда знаменатель не равен нулю:
$-1 - x \neq 0$
$x \neq -1$
Это значит, что на графике будет «выколотая» точка с абсциссой $x = -1$.

2. Упрощение выражения.
Заметим, что в знаменателе можно вынести минус за скобки: $-1 - x = -(x + 1)$.
Тогда функция примет вид:
$y = \frac{(x^2 + 2,25)(x + 1)}{-(x + 1)}$
Сократим дробь на $(x + 1)$, учитывая условие $x \neq -1$:
$y = -(x^2 + 2,25)$
$y = -x^2 - 2,25$

3. Построение графика.
Графиком функции $y = -x^2 - 2,25$ является парабола, ветви которой направлены вниз. Вершина параболы находится в точке $(0; -2,25)$.
Найдём координаты «выколотой» точки. Подставим $x = -1$ в упрощённое уравнение:
$y(-1) = -(-1)^2 - 2,25 = -1 - 2,25 = -3,25$.
Таким образом, точка $(-1; -3,25)$ не принадлежит графику.

4. Исследование количества общих точек с прямой $y = kx$.
Прямая $y = kx$ проходит через начало координат. Она будет иметь с графиком ровно одну общую точку в двух случаях:

Случай А: Прямая проходит через «выколотую» точку $(-1; -3,25)$.
В этом случае прямая пересекает параболу в двух точках, но одна из них (выколотая) не считается. Подставим координаты точки в уравнение прямой:
$-3,25 = k \cdot (-1)$
$k = 3,25$

Случай Б: Прямая касается параболы.
Для этого уравнение $kx = -x^2 - 2,25$ должно иметь ровно одно решение.
Перенесём всё в одну сторону: $x^2 + kx + 2,25 = 0$.
Квадратное уравнение имеет один корень, когда дискриминант равен нулю:
$D = k^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2,25 = k^2 - 9$
$k^2 - 9 = 0$
$k^2 = 9$
$k = 3$ или $k = -3$

Проверим, не совпадают ли точки касания с выколотой точкой. При $k = 3$ абсцисса точки касания $x = -k/2 = -1,5$. При $k = -3$ абсцисса $x = 1,5$. Ни одно из этих значений не равно $-1$, значит, оба значения $k$ нам подходят.

Ответ: -3; 3; 3,25

Источник: ФИПИ