Вариант 3 · Август 2026

Решение.

Для того чтобы определить, какому числу соответствует точка $A$ на координатной прямой, нам нужно сравнить предложенные варианты с целыми числами, отмеченными на рисунке.

1) На координатной прямой точка $A$ находится между числами $6$ и $7$. При этом заметно, что точка $A$ расположена ближе к числу $7$, чем к числу $6$.

2) Представим целые числа $6$ и $7$ в виде квадратных корней, чтобы их было удобно сравнивать с вариантами ответа:
$6 = \sqrt{6^2} = \sqrt{36}$
$7 = \sqrt{7^2} = \sqrt{49}$

3) Теперь мы видим, что искомое число должно находиться в промежутке от $\sqrt{36}$ до $\sqrt{49}$. Рассмотрим предложенные варианты:
1) $\sqrt{29}$ — меньше $\sqrt{36}$, не подходит.
2) $\sqrt{33}$ — меньше $\sqrt{36}$, не подходит.
3) $\sqrt{39}$ — находится в промежутке от $\sqrt{36}$ до $\sqrt{49}$.
4) $\sqrt{44}$ — находится в промежутке от $\sqrt{36}$ до $\sqrt{49}$.

4) Уточним положение точки $A$. На рисунке она находится правее середины отрезка $[6; 7]$. Найдём "середину" в квадратных корнях. Число $6,5$ в квадрате равно $42,25$, значит середина отрезка — это $\sqrt{42,25}$.
Так как точка $A$ лежит ближе к $7$, её значение должно быть больше $\sqrt{42,25}$.
Сравним оставшиеся варианты:
$\sqrt{39} < \sqrt{42,25}$ (это число было бы левее середины).
$\sqrt{44} > \sqrt{42,25}$ (это число лежит правее середины, ближе к $7$).

Следовательно, точке $A$ соответствует число $\sqrt{44}$, что соответствует варианту № 4.

Ответ: 4

Источник: ФИПИ

Решение.

Для решения данного примера воспользуемся свойствами степеней. Наша задача — привести все числа к одинаковым основаниям, чтобы упростить дробь.

1. Сначала обратим внимание на знаменатель. Число $45$ можно представить в виде произведения двух множителей, которые уже есть в числителе: $45 = 5 \cdot 9$.

2. Применим свойство возведения произведения в степень $(a \cdot b)^{n} = a^{n} \cdot b^{n}$. Тогда знаменатель примет вид:
$45^{6} = (5 \cdot 9)^{6} = 5^{6} \cdot 9^{6}$.

3. Подставим полученное выражение в исходную дробь:
$\frac{5^{9} \cdot 9^{6}}{5^{6} \cdot 9^{6}}$.

4. Мы видим, что в числителе и знаменателе есть одинаковый множитель $9^{6}$. Сократим на него дробь:
$\frac{5^{9}}{5^{6}}$.

5. При делении степеней с одинаковыми основаниями показатели вычитаются $\frac{a^{n}}{a^{m}} = a^{n-m}$:
$5^{9-6} = 5^{3}$.

6. Вычислим значение полученной степени:
$5^{3} = 5 \cdot 5 \cdot 5 = 25 \cdot 5 = 125$.

Ответ: 125

Источник: ФИПИ

Решение.

Для решения линейного уравнения $6x + 1 = -4x$ воспользуемся правилом переноса слагаемых: перенесём все слагаемые, содержащие неизвестное $x$, в левую часть уравнения, а числа — в правую часть. При переносе через знак равенства знаки слагаемых меняются на противоположные.

1. Перенесём $-4x$ из правой части в левую со знаком «плюс», а единицу из левой части в правую со знаком «минус»:
$6x + 4x = -1$

2. Приведём подобные слагаемые в левой части уравнения. Сложим коэффициенты перед $x$:
$10x = -1$

3. Чтобы найти неизвестный множитель $x$, нужно произведение разделить на известный множитель. Разделим обе части уравнения на $10$:
$x = -1 : 10$
$x = -0,1$

Ответ: -0,1

Источник: ФИПИ

Решение.

Для решения задачи воспользуемся классическим определением вероятности. Вероятность события $P(A)$ равна отношению количества благоприятных исходов $m$ к общему количеству равновозможных исходов $n$.

1. Сначала определим общее количество исходов. Так как всего закуплено 20 пазлов и они распределяются между 20 детьми, то Володе может достаться любой из этих 20 пазлов. Значит, общее число исходов $n = 20$.

2. Теперь определим количество благоприятных исходов. Нас интересует событие, при котором Володе достанется пазл с машиной. По условию задачи пазлов с машинами всего 14. Значит, количество благоприятных исходов $m = 14$.

3. Вычислим вероятность по формуле:
$P = \frac{m}{n}$
$P = \frac{14}{20}$

4. Чтобы перевести дробь в десятичный вид, сократим её на 2:
$\frac{14}{20} = \frac{7}{10} = 0{,}7$

Таким образом, вероятность того, что Володе достанется пазл с машиной, составляет 0,7.

Ответ: 0,7

Источник: ФИПИ

Решение. Для решения этой задачи вспомним, за что отвечают коэффициенты $a$ и $c$ в уравнении квадратичной функции $y = ax^{2} + bx + c$.

1) Коэффициент $a$ определяет направление ветвей параболы:
— Если $a > 0$, то ветви параболы направлены вверх.
— Если $a < 0$, то ветви параболы направлены вниз.

2) Коэффициент $c$ — это ордината точки пересечения параболы с осью $Oy$ (так как при $x = 0$ получаем $y = c$):
— Если парабола пересекает ось $Oy$ выше оси $Ox$, то $c > 0$.
— Если парабола пересекает ось $Oy$ ниже оси $Ox$, то $c < 0$.

Проанализируем каждый график:

График А (Рисунок 1):
— Ветви направлены вверх, значит, $a > 0$.
— Точка пересечения с осью $Oy$ находится выше оси $Ox$, значит, $c > 0$.
Это соответствует варианту 3.

График Б (Рисунок 2):
— Ветви направлены вверх, значит, $a > 0$.
— Точка пересечения с осью $Oy$ находится ниже оси $Ox$, значит, $c < 0$.
Это соответствует варианту 2.

График В (Рисунок 3):
— Ветви направлены вниз, значит, $a < 0$.
— Точка пересечения с осью $Oy$ находится выше оси $Ox$, значит, $c > 0$.
Это соответствует варианту 1.

Заполним таблицу соответствия: А — 3, Б — 2, В — 1.

Ответ: 321

Источник: ФИПИ

Решение.

Для решения задачи нам необходимо воспользоваться данной в условии формулой: $t_{C} = \frac{5}{9} (t_{F} - 32)$.

1. Сначала определим, какие значения нам известны. По условию задачи температура по шкале Фаренгейта составляет 50 градусов. Значит, $t_{F} = 50$.

2. Подставим известное значение $t_{F}$ в формулу, чтобы найти температуру по шкале Цельсия ($t_{C}$):
$t_{C} = \frac{5}{9} \cdot (50 - 32)$

3. Выполним действие в скобках:
$50 - 32 = 18$

4. Теперь подставим полученный результат обратно в выражение:
$t_{C} = \frac{5}{9} \cdot 18$

5. Чтобы умножить дробь на число, нужно это число умножить на числитель дроби и разделить на знаменатель. Заметим, что $18$ и $9$ можно сократить на $9$:
$t_{C} = 5 \cdot \frac{18}{9}$
$t_{C} = 5 \cdot 2$
$t_{C} = 10$

Таким образом, 50 градусов по шкале Фаренгейта соответствуют 10 градусам по шкале Цельсия.

Ответ: 10

Источник: ФИПИ

Решение.

Для того чтобы найти решение системы неравенств, необходимо решить каждое неравенство по отдельности, а затем найти их общее решение (пересечение промежутков).

Дана система неравенств:
$\begin{cases} x + 3 \geq -2 \\ x + 1,1 \geq 0 \end{cases}$

Шаг 1. Решим первое неравенство системы:
$x + 3 \geq -2$
Перенесём число $3$ в правую часть неравенства, сменив его знак на противоположный:
$x \geq -2 - 3$
$x \geq -5$

Шаг 2. Решим второе неравенство системы:
$x + 1,1 \geq 0$
Перенесём число $1,1$ в правую часть неравенства, сменив его знак на противоположный:
$x \geq -1,1$

Шаг 3. Найдём общее решение системы.
Мы получили два условия:
1) $x \geq -5$ (все числа правее или равные $-5$)
2) $x \geq -1,1$ (все числа правее или равные $-1,1$)

Так как число $-1,1$ больше, чем $-5$, то условие $x \geq -1,1$ автоматически включает в себя условие $x \geq -5$. Пересечением этих лучей будет промежуток $[ -1,1; +\infty )$.

Шаг 4. Сопоставим результат с рисунками.
На рисунке под номером 2 изображена координатная прямая, на которой отмечена точка $-1,1$ и заштрихована область справа от неё, что соответствует решению $x \geq -1,1$.

Ответ: 2

Источник: ФИПИ

Решение.

Для решения этой задачи воспользуемся понятием геометрической прогрессии или просто последовательным делением массы изотопа.

1. Сначала определим, сколько раз масса изотопа уменьшится вдвое за указанное время. По условию, период полураспада составляет $9$ минут, а общее время процесса — $45$ минут.
Разделим общее время на длительность одного периода:
$n = 45 : 9 = 5$.
Это означает, что масса изотопа будет уменьшаться вдвое $5$ раз.

2. Пусть $b_0 = 640$ мг — начальная масса изотопа.
Через первые $9$ минут масса станет: $640 : 2 = 320$ мг.
Через $18$ минут: $320 : 2 = 160$ мг.
Через $27$ минут: $160 : 2 = 80$ мг.
Через $36$ минут: $80 : 2 = 40$ мг.
Через $45$ минут: $40 : 2 = 20$ мг.

3. Тот же результат можно получить быстрее, используя формулу $n$-го члена геометрической прогрессии или просто формулу распада:
$m = m_0 \cdot (\frac{1}{2})^n$, где $m_0$ — начальная масса, а $n$ — количество периодов.
$m = 640 \cdot (\frac{1}{2})^5 = 640 \cdot \frac{1}{32}$.
Разделим $640$ на $32$:
$640 : 32 = 20$.

Таким образом, через $45$ минут масса изотопа составит $20$ мг.

Ответ: 20

Источник: ФИПИ

Решение.

1. Рассмотрим треугольник $A B C$. По условию задачи $B H$ является высотой, проведённой к стороне $A C$. Это означает, что отрезок $B H$ перпендикулярен прямой $A C$, следовательно, угол $B H A$ равен $90^\circ$.

2. Высота $B H$ разбивает исходный треугольник на два прямоугольных треугольника. Рассмотрим треугольник $A B H$. Он является прямоугольным, так как $\angle B H A = 90^\circ$.

3. Нам известно, что угол $B A C$ (который в треугольнике $A B H$ совпадает с углом $B A H$) равен $82^\circ$.

4. Вспомним важное свойство: сумма острых углов в любом прямоугольном треугольнике всегда равна $90^\circ$. Для треугольника $A B H$ это записывается так:
$\angle A B H + \angle B A H = 90^\circ$.

5. Теперь подставим известное значение угла $B A H$ в это уравнение:
$\angle A B H + 82^\circ = 90^\circ$.

6. Чтобы найти искомый угол $A B H$, вычтем из $90^\circ$ величину известного угла:
$\angle A B H = 90^\circ - 82^\circ = 8^\circ$.

Ответ: 8

Источник: ФИПИ

Решение.

1) Вспомним важное свойство четырехугольника, вписанного в окружность: сумма его противоположных углов равна $180^\circ$. Однако для трапеции, вписанной в окружность, существует ещё более специфическое свойство: любая трапеция, которую можно вписать в окружность, обязательно является равнобедренной.

2) Так как трапеция $ABCD$ вписана в окружность, то её боковые стороны равны ($AB = CD$), а углы при основаниях равны между собой. Это значит, что угол при вершине $A$ равен углу при вершине $D$:
$\angle A = \angle D = 79^\circ$.

3) Теперь рассмотрим основания трапеции. По определению трапеции, основания $BC$ и $AD$ параллельны ($BC \parallel AD$). Сторона $AB$ является секущей для этих параллельных прямых.

4) Углы $A$ и $B$ являются односторонними углами при параллельных прямых $BC$, $AD$ и секущей $AB$. Сумма односторонних углов равна $180^\circ$.
Следовательно:
$\angle A + \angle B = 180^\circ$.

5) Подставим известное значение угла $A$ в это уравнение:
$79^\circ + \angle B = 180^\circ$.
Отсюда находим угол $B$:
$\angle B = 180^\circ - 79^\circ = 101^\circ$.

Ответ: 101

Источник: ФИПИ

Решение.

1) Пусть $ABCD$ — данный ромб, а точка $O$ — точка пересечения его диагоналей. Проведём перпендикуляр $OH$ из точки $O$ к стороне ромба $AB$. По условию задачи угол между этим перпендикуляром и одной из диагоналей равен $28^{\circ}$. Пусть это будет угол $AOH$, то есть $\angle AOH = 28^{\circ}$.

2) Рассмотрим прямоугольный треугольник $AOH$ (угол $H$ равен $90^{\circ}$, так как $OH$ — перпендикуляр). Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна $90^{\circ}$. Найдём угол $OAH$:
$\angle OAH = 90^{\circ} - \angle AOH = 90^{\circ} - 28^{\circ} = 62^{\circ}$.

3) Угол $OAH$ — это часть угла ромба $A$, а именно угол между стороной $AB$ и диагональю $AC$. Вспомним важное свойство ромба: его диагонали являются биссектрисами его углов. Значит, диагональ $AC$ делит угол $A$ пополам. Тогда весь угол $A$ равен:
$\angle A = 2 \cdot \angle OAH = 2 \cdot 62^{\circ} = 124^{\circ}$.

4) Мы нашли один из углов ромба. Так как сумма углов ромба, прилежащих к одной стороне, равна $180^{\circ}$, найдём второй угол (угол $B$):
$\angle B = 180^{\circ} - \angle A = 180^{\circ} - 124^{\circ} = 56^{\circ}$.

5) Сравнив полученные углы ($124^{\circ}$ и $56^{\circ}$), мы видим, что острым углом ромба является угол, равный $56^{\circ}$.

Ответ: 56

Источник: ФИПИ

Решение.

Для того чтобы найти площадь параллелограмма, воспользуемся формулой: $S = a \cdot h$, где $a$ — сторона параллелограмма, а $h$ — высота, проведённая к этой стороне.

1. Сначала определим длину стороны параллелограмма, к которой проведена высота. На рисунке видно, что высота делит нижнюю сторону на два отрезка, длины которых равны $3$ и $5$. Следовательно, вся длина основания $a$ равна их сумме:
$a = 3 + 5 = 8$.

2. Теперь найдём высоту $h$. На рисунке изображён прямоугольный треугольник, катетами которого являются высота $h$ и отрезок основания длиной $5$, а гипотенузой — боковая сторона параллелограмма, равная $13$. Однако, на чертеже значение высоты уже указано и равно $12$.
Проверим это по теореме Пифагора для прямоугольного треугольника справа: $5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169$, что в точности равно $13^2$. Значит, высота $h = 12$.

3. Вычислим площадь параллелограмма, перемножив основание на высоту:
$S = a \cdot h = 8 \cdot 12 = 96$.

Ответ: 96

Источник: ФИПИ

Решение.

Разберём каждое утверждение по порядку, чтобы определить его истинность.

1) Любой прямоугольник можно вписать в окружность.
Согласно свойству вписанного четырёхугольника, его можно вписать в окружность тогда и только тогда, когда сумма его противоположных углов равна $180^{\circ}$. У прямоугольника все углы прямые, то есть равны $90^{\circ}$. Сумма противоположных углов прямоугольника всегда равна $90^{\circ} + 90^{\circ} = 180^{\circ}$. Следовательно, вокруг любого прямоугольника можно описать окружность. Это утверждение верно.

2) Все углы ромба равны.
По определению ромб — это параллелограмм, у которого все стороны равны. Однако его углы равны только в том случае, если ромб является квадратом. В общем случае у ромба равны только противоположные углы, а соседние углы в сумме дают $180^{\circ}$. Это утверждение неверно.

3) Треугольник со сторонами 1, 2, 4 существует.
Согласно неравенству треугольника, любая сторона треугольника должна быть меньше суммы двух других его сторон. Проверим это условие для самой большой стороны: $4 < 1 + 2$. Получаем неравенство $4 < 3$, которое является ложным. Значит, треугольник с такими сторонами не существует. Это утверждение неверно.

Таким образом, истинным является только первое утверждение.

Ответ: 1

Источник: ФИПИ