Вариант 8 · Сентябрь 2026

Решение.

Для того чтобы понять, между какими целыми числами находится корень из числа $28$, нам нужно сравнить его с квадратами ближайших целых чисел.

1. Вспомним таблицу квадратов для чисел, представленных в вариантах ответа:
$5^2 = 25$
$6^2 = 36$

2. Теперь сравним подкоренное число $28$ с полученными квадратами:
Мы видим, что число $28$ больше, чем $25$, но меньше, чем $36$.
Запишем это в виде двойного неравенства:
$25 < 28 < 36$

3. Извлечём квадратный корень из каждой части неравенства:
$\sqrt{25} < \sqrt{28} < \sqrt{36}$

4. Так как $\sqrt{25} = 5$, а $\sqrt{36} = 6$, получаем:
$5 < \sqrt{28} < 6$

Следовательно, число $\sqrt{28}$ заключено между числами $5$ и $6$. Это соответствует варианту под номером 1.

Для проверки остальных вариантов:
— Вариант 2: $2^2 = 4$ и $3^2 = 9$ (число $28$ не входит в этот промежуток).
— Вариант 3: $10^2 = 100$ и $12^2 = 144$ (число $28$ значительно меньше).
— Вариант 4: Числа $27$ и $29$ слишком велики, так как их квадраты намного больше $28$.

Ответ: 1

Источник: ФИПИ

Решение.

Для решения данного выражения воспользуемся одной из формул сокращённого умножения, а именно — формулой разности квадратов:
$(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$

В нашем случае роль $a$ играет число $\sqrt{47}$, а роль $b$ — число $5$. Применим формулу:

1) Запишем квадрат первого числа: $(\sqrt{47})^2$. По определению квадратного корня, при возведении корня в квадрат мы получаем само подкоренное выражение:
$(\sqrt{47})^2 = 47$

2) Запишем квадрат второго числа:
$5^2 = 5 \cdot 5 = 25$

3) Теперь найдём разность полученных результатов согласно формуле:
$47 - 25 = 22$

Таким образом:
$(\sqrt{47} - 5)(\sqrt{47} + 5) = (\sqrt{47})^2 - 5^2 = 47 - 25 = 22$

Ответ: 22

Источник: ФИПИ

Решение.

Для решения данного линейного уравнения выполним последовательные действия:

1. Сначала раскроем скобки в левой части уравнения. Для этого умножим число $4$ на каждое слагаемое, стоящее внутри скобок ($x$ и $10$):
$4 \cdot x + 4 \cdot 10 = -1$
$4x + 40 = -1$

2. Теперь перенесём известное число $40$ из левой части уравнения в правую, изменив его знак на противоположный:
$4x = -1 - 40$

3. Выполним вычитание в правой части уравнения:
$4x = -41$

4. Чтобы найти неизвестный множитель $x$, нужно произведение ($-41$) разделить на известный множитель ($4$):
$x = -41 : 4$

5. Выполним деление. Для удобства можно представить это в виде дроби или разделить столбиком:
$x = -10,25$

Ответ: -10,25

Источник: ФИПИ

Решение.

Для решения этой задачи воспользуемся классическим определением вероятности. Вероятность события $P(A)$ равна отношению количества благоприятных исходов $m$ к общему количеству возможных исходов $n$.

1. Сначала определим общее количество возможных исходов. По условию задачи в фирме всего свободно $30$ машин. Значит, $n = 30$.

2. Теперь определим количество благоприятных исходов. Нас интересует вероятность того, что приедет именно жёлтое такси. В условии сказано, что жёлтых машин $9$. Значит, $m = 9$.

3. Вычислим вероятность по формуле:
$P = \frac{m}{n}$
$P = \frac{9}{30}$

4. Сократим полученную дробь на $3$:
$\frac{9}{30} = \frac{3}{10}$

5. Запишем результат в виде десятичной дроби:
$\frac{3}{10} = 0,3$

Ответ: 0,3

Источник: ФИПИ

Решение.

Для того чтобы установить соответствие между графиками и формулами, проанализируем каждую функцию и её свойства.

1) Рассмотрим формулу $y = x + 3$. Это линейная функция вида $y = kx + b$.
— Коэффициент $b = 3$ означает, что график пересекает ось $Oy$ в точке $(0; 3)$.
— Если $x = -3$, то $y = -3 + 3 = 0$, значит, график проходит через точку $(-3; 0)$.
На рисунке А мы видим прямую, которая пересекает ось $Oy$ в точке $3$ и ось $Ox$ в точке $-3$. Следовательно, А — 1.

2) Рассмотрим формулу $y = 3$. Это функция, значение которой не зависит от $x$.
— Графиком такой функции является прямая, параллельная оси $Ox$ и проходящая через точку $3$ на оси $Oy$.
На рисунке Б изображена именно такая горизонтальная прямая. Следовательно, Б — 2.

3) Рассмотрим формулу $y = 3x$. Это прямая пропорциональность.
— График такой функции всегда проходит через начало координат — точку $(0; 0)$, так как при $x = 0$ получаем $y = 3 \cdot 0 = 0$.
— Если $x = 1$, то $y = 3 \cdot 1 = 3$. То есть прямая проходит через точку $(1; 3)$.
На рисунке В изображена прямая, проходящая через начало координат $(0; 0)$. Следовательно, В — 3.

Ответ: 123

Источник: ФИПИ

Решение.

Для решения задачи нам необходимо найти значение температуры по шкале Фаренгейта ($t_{F}$), если известно значение температуры по шкале Цельсия ($t_{C}$).

1. Выпишем формулу, данную в условии задачи:
$t_{F} = 1,8 t_{C} + 32$

2. По условию нам известно, что температура по шкале Цельсия составляет $-90$ градусов. Значит, $t_{C} = -90$.

3. Подставим значение $t_{C}$ в формулу:
$t_{F} = 1,8 \cdot (-90) + 32$

4. Выполним умножение. Чтобы умножить положительное число на отрицательное, нужно перемножить их модули и поставить перед результатом знак «минус»:
$1,8 \cdot (-90) = -(1,8 \cdot 90) = -(18 \cdot 9) = -162$

5. Теперь выполним сложение полученного результата с числом $32$:
$t_{F} = -162 + 32$

6. Чтобы сложить числа с разными знаками, нужно из большего модуля вычесть меньший и поставить знак того числа, модуль которого больше:
$t_{F} = -(162 - 32) = -130$

Таким образом, $-90$ градусов по шкале Цельсия соответствуют $-130$ градусам по шкале Фаренгейта.

Ответ: -130

Источник: ФИПИ

Решение.

Для того чтобы решить линейное неравенство $- 3 - x < 4x + 7$, будем придерживаться стандартного алгоритма: перенесём слагаемые с переменной $x$ в одну часть неравенства, а числа — в другую.

Шаг 1. Перенесём $4x$ из правой части в левую с противоположным знаком, а число $- 3$ из левой части в правую, также изменив его знак на противоположный:
$- x - 4x < 7 + 3$

Шаг 2. Приведём подобные слагаемые в обеих частях неравенства:
$- 5x < 10$

Шаг 3. Теперь нам нужно найти $x$. Для этого разделим обе части неравенства на коэффициент перед $x$, то есть на $- 5$.
Важное правило: при делении или умножении неравенства на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный (был $<$, станет $>$).
$x > 10 : (- 5)$
$x > - 2$

Шаг 4. Запишем полученный результат в виде числового промежутка. Условие $x > - 2$ означает, что решению принадлежат все числа, которые находятся правее $- 2$ на числовой прямой, не включая само число $- 2$ (так как знак неравенства строгий).
Это соответствует промежутку $( - 2 ; + \infty )$.

Сравним полученный результат с предложенными вариантами:
1) $( - \infty ; - 0,8 )$
2) $( - 2 ; + \infty )$
3) $( - \infty ; - 2 )$
4) $( - 0,8 ; + \infty )$

Видим, что наш ответ совпадает с вариантом № 2.

Ответ: 2

Источник: ФИПИ

Решение.

Высота каждого последующего прыжка мячика уменьшается в одно и то же количество раз. Это означает, что высоты прыжков образуют геометрическую прогрессию $(b_n)$, где $n$ — номер прыжка.

1) Выпишем известные данные:
Первый прыжок: $b_1 = 4$ м.
Знаменатель прогрессии: $q = \frac{1}{2} = 0,5$ (так как высота каждый раз уменьшается в два раза).
Нам нужно найти номер прыжка $n$, при котором высота $b_n$ станет меньше 20 см.

2) Приведем все величины к одной единице измерения. Переведем 20 см в метры:
$20 \text{ см} = 0,2$ м.

3) Вспомним формулу $n$-го члена геометрической прогрессии:
$b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$

4) Нам нужно решить неравенство $b_n < 0,2$. Будем последовательно вычислять высоту каждого прыжка, пока не получим значение меньше 0,2:
• 1-й прыжок: $b_1 = 4$ м.
• 2-й прыжок: $b_2 = 4 \cdot 0,5 = 2$ м.
• 3-й прыжок: $b_3 = 2 \cdot 0,5 = 1$ м.
• 4-й прыжок: $b_4 = 1 \cdot 0,5 = 0,5$ м.
• 5-й прыжок: $b_5 = 0,5 \cdot 0,5 = 0,25$ м.
• 6-й прыжок: $b_6 = 0,25 \cdot 0,5 = 0,125$ м.

5) Сравним полученные результаты с пороговым значением 0,2 м:
На 5-м прыжке высота $0,25 > 0,2$.
На 6-м прыжке высота $0,125 < 0,2$.

Следовательно, именно при 6-м прыжке мячик впервые не достигнет высоты 20 см.

Ответ: 6

Источник: ФИПИ

Решение.

Для решения этой задачи воспользуемся одной из основных формул нахождения площади треугольника. Если нам известны длины двух сторон треугольника и синус угла между ними, то площадь $S$ вычисляется по формуле:
$S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin \gamma$,
где $a$ и $b$ — стороны треугольника, а $\gamma$ — угол между ними.

В нашей задаче даны:
1) Сторона $AB = 9$;
2) Сторона $BC = 16$;
3) Синус угла между этими сторонами: $\sin \angle ABC = \frac{7}{12}$.

Подставим известные значения в формулу площади:
$S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BC \cdot \sin \angle ABC$
$S = \frac{1}{2} \cdot 9 \cdot 16 \cdot \frac{7}{12}$

Выполним вычисления по шагам:
1) Сначала перемножим целые числа и дробь: $\frac{1}{2} \cdot 16 = 8$.
2) Теперь наше выражение выглядит так: $S = 8 \cdot 9 \cdot \frac{7}{12}$.
3) Перемножим $8$ и $9$: $8 \cdot 9 = 72$.
4) Осталось умножить полученный результат на дробь: $S = 72 \cdot \frac{7}{12}$.
5) Сократим число $72$ и знаменатель $12$ на $12$. Заметим, что $72 : 12 = 6$.
6) Получаем: $S = 6 \cdot 7 = 42$.

Таким образом, площадь треугольника $ABC$ равна $42$.

Ответ: 42

Источник: ФИПИ

Решение.

1) Рассмотрим условие задачи. Нам дана трапеция $A B C D$, вписанная в окружность. Важным свойством вписанного четырёхугольника является то, что сумма его противоположных углов равна $180^\circ$.

2) Для данной трапеции это означает, что:
$\angle A + \angle C = 180^\circ$
$\angle B + \angle D = 180^\circ$

3) По условию задачи угол $A$ равен $36^\circ$. Нам необходимо найти угол $C$. Эти углы являются противоположными в четырёхугольнике $A B C D$.

4) Используя свойство вписанного четырёхугольника, выразим угол $C$:
$\angle C = 180^\circ - \angle A$

5) Подставим известное значение угла $A$:
$\angle C = 180^\circ - 36^\circ = 144^\circ$

Замечание: Стоит помнить, что в окружность можно вписать только равнобедренную трапецию. В равнобедренной трапеции углы при основаниях равны ($\angle A = \angle D$, $\angle B = \angle C$), а сумма углов, прилежащих к боковой стороне, также составляет $180^\circ$ ($\angle A + \angle B = 180^\circ$), что подтверждает логику вычислений.

Ответ: 144

Источник: ФИПИ

Решение.

1. Вспомним свойства углов ромба. Ромб является параллелограммом, поэтому сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна $180^\circ$. Если один из углов ромба (тупой) равен $150^\circ$, то мы можем найти величину острого угла ромба:
$180^\circ - 150^\circ = 30^\circ$.

2. Рассмотрим прямоугольный треугольник, который образуется при проведении высоты из вершины тупого угла к стороне ромба. В этом треугольнике:
— гипотенузой является сторона ромба, которая по условию равна $28$;
— катетом является высота ромба, которую нам нужно найти;
— один из острых углов этого треугольника совпадает с острым углом ромба и равен $30^\circ$.

3. Воспользуемся свойством прямоугольного треугольника: катет, лежащий против угла в $30^\circ$, равен половине гипотенузы. В нашем случае высота ромба лежит как раз напротив угла в $30^\circ$.

4. Проведем вычисление:
$h = 28 : 2 = 14$.

Ответ: 14

Источник: ФИПИ

Решение.

Для решения задачи воспользуемся изображением на клетчатой бумаге. Нам необходимо найти длину вертикального отрезка $AB$.

1. Сначала определим масштаб чертежа. Из условия (рисунок 2) следует, что размер одной клетки составляет $1 \times 1$. Это означает, что длина стороны одной клетки равна 1 единице.

2. Рассмотрим положение точек $A$ и $B$ на сетке. Точка $A$ находится в узле сетки сверху, а точка $B$ — в узле сетки снизу. Отрезок $AB$ расположен строго вертикально, так как он проходит вдоль линий сетки.

3. Чтобы найти длину отрезка $AB$, достаточно посчитать количество клеток между этими точками по вертикали.

4. Считаем клетки сверху вниз от точки $A$ до точки $B$:
- от точки $A$ вниз на 1 клетку;
- ещё на 1 клетку (итого 2);
- ещё на 1 клетку (итого 3);
- и последняя клетка до точки $B$ (итого 4).

5. Таким образом, расстояние между точками $A$ и $B$ составляет 4 клетки. Так как размер одной клетки равен 1, длина отрезка $AB$ вычисляется как:
$AB = 4 \cdot 1 = 4$.

Ответ: 4

Источник: ФИПИ

Решение.

Разберём каждое утверждение по порядку, чтобы определить его верность:

1) Средняя линия трапеции равна полусумме её оснований.
Согласно теореме о средней линии трапеции, она параллельна основаниям и её длина действительно вычисляется по формуле $m = \frac{a + b}{2}$, где $a$ и $b$ — основания трапеции. Это утверждение верно.

2) Диагонали любого прямоугольника делят его на четыре равных треугольника.
Диагонали прямоугольника равны и точкой пересечения делятся пополам. Они делят прямоугольник на четыре треугольника, которые равны по площади (равновеликие), но не всегда равны между собой. В общем случае они равны попарно (противолежащие треугольники равны по трём сторонам). Все четыре треугольника будут равны только в том случае, если прямоугольник является квадратом. Это утверждение неверно.

3) Косинус острого угла прямоугольного треугольника равен отношению гипотенузы к прилежащему к этому углу катету.
По определению, косинус острого угла в прямоугольном треугольнике — это отношение прилежащего катета к гипотенузе. В утверждении же указано обратное отношение (которое является секансом угла). Это утверждение неверно.

Таким образом, истинным является только первое утверждение.

Ответ: 1

Источник: ФИПИ