тема 4 из 12

Формулы сокращённого умножения

Формулы сокращённого умножения раскрывают квадрат суммы и квадрат разности без умножения скобки на скобку. Справа налево те же формулы сворачивают выражение в квадрат. Разность квадратов раскладывается на множители.

Основа для задания7На карте навыков

Формулы сокращённого умножения
—В аналитике

Три формулы

Для любых чисел и выражений $a$ и $b$ :

Квадрат суммы: $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ .
Квадрат разности: $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ .
Разность квадратов: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$ .
Слева направо формулы раскрывают скобки, справа налево — раскладывают выражение на множители.

Формулы на клетках

(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2

a

3

b

2

(3 + 2)^2 = 3^2 + 2 \cdot 3 \cdot 2 + 2^2

25 = 9 + 12 + 4

Квадрат

5 \times 5

= квадрат

3 \times 3

+ два прямоугольника

3 \times 2

+ квадрат

2 \times 2

Квадрат со стороной

a + b

складывается из квадратов

a^2

b^2

и двух прямоугольников

ab

: отсюда удвоенное произведение

2ab

. Если из квадрата

a^2

вырезать угол

b^2

и переложить полоску, получится прямоугольник

(a - b)(a + b)

. Двигайте ползунки и переключайте формулу.

Как раскрыть квадрат

$(a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2$ : запишите квадрат первого слагаемого, удвоенное произведение и квадрат второго. Знак удвоенного произведения — знак в скобке. Удвоенное произведение $2ab$ есть всегда: $(x + 9)^2 = x^2 + 18x + 81$ . Если у $x$ есть множитель, в квадрат возводят весь одночлен: $(2x)^2 = 4x^2$ .

Минус перед скобкой меняет знаки всех трёх слагаемых: $-(x - 3)^2 = -x^2 + 6x - 9$ .

Пример

Раскройте скобки: $(2x - 1)^2$ .

1.Квадрат первого: $(2x)^2 = 4x^2$ .
2.Удвоенное произведение: $2 \cdot 2x \cdot 1 = 4x$ , со знаком минус.
3.Квадрат второго: $1^2 = 1$ .

Ответ: $4x^2 - 4x + 1$

Как узнать полный квадрат

Формулу квадрата читают и справа налево: $a^2 \pm 2ab + b^2 = (a \pm b)^2$ . Выражение — полный квадрат, если два слагаемых — квадраты $a^2$ и $b^2$ , а третье равно $2ab$ . Например, $x^2 - 18x + 81$ — квадрат разности: $81 = 9^2$ и $18x = 2 \cdot x \cdot 9$ . Значит, $x^2 - 18x + 81 = (x - 9)^2$ . Знак в скобке совпадает со знаком среднего слагаемого.

Пример

$(x + 9)^2 = 36x$

1.Раскройте скобки: $x^2 + 18x + 81 = 36x$ .
2.Перенесите $36x$ влево: $x^2 - 18x + 81 = 0$ .
3.Слева полный квадрат: $(x - 9)^2 = 0$ , поэтому $x = 9$ . Это квадратное уравнение с $D = 0$ : корень один.

Ответ: $9$

Разность квадратов

Разность квадратов равна произведению разности и суммы: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$ . Например, $x^2 - 49 = (x - 7)(x + 7)$ , так как $49 = 7^2$ . Формула работает и для скобок. Так решают равенство квадратов.

Пример

$(x - 4)^2 = (x + 1)^2$

1.Перенесите всё влево: $(x - 4)^2 - (x + 1)^2 = 0$ .
2. $\big((x - 4) - (x + 1)\big)\big((x - 4) + (x + 1)\big) = -5(2x - 3)$ .
3. $-5(2x - 3) = 0$ , $x = 1{,}5$ .

Ответ: $1{,}5$

Формулы для кубов

Формула	Запись
куб суммы	$(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$
куб разности	$(a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$
сумма кубов	$a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$
разность кубов	$a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$

Проверьте себя

Потренируйте навык

Все задания на этот навык

Решать