Теория к заданию 20 ЕГЭ по профильной математике Числа и их свойства (теория чисел)

Задание 20 — задача о натуральных числах: о наборах чисел на доске, суммах и средних, цифрах, делимости, кучках камней. Знаний сверх школьной арифметики не нужно: нужны делимость и остатки, цифры числа и средние. Главное — способ ответа. «Да» доказывают одним проверенным примером. «Нет» доказывают рассуждением: чётность, остатки, оценка. В пункте в) нужны оценка и пример.

За задание дают до 4 баллов. Обоснованное решение а) или б) даёт 1 балл, оба пункта — 2 балла. Пункт в) засчитывают только целиком, с оценкой и примером: он даёт 2 балла. Оценка без примера или пример без оценки не дают за в) ничего.

Пример задания

Открытый банк ФИПИ

На столе лежат 4 камня по 5 кг и 13 камней по 14 кг. Их разделили на 2 кучки.
а) Может ли разность масс двух этих кучек камней быть равна 6 кг?
б) Могут ли массы двух этих кучек быть равны?
в) Какая наименьшая положительная разность масс может быть у двух этих кучек камней?

Решение

Пусть в первой кучке $a$ камней по 5 кг и $b$ камней по 14 кг, $0 \le a \le 4$ , $0 \le b \le 13$ . Вся масса $4 \cdot 5 + 13 \cdot 14 = 202$ кг, масса первой кучки $5a + 14b$ , разность масс $|202 - 2(5a + 14b)| = 2|5a + 14b - 101|$ .
а) Да. Пример: в первой кучке 7 камней по 14 кг — 98 кг, во второй 4 камня по 5 кг и 6 по 14 кг — $20 + 84 = 104$ кг. Разность $104 - 98 = 6$ кг.
б) Нет. Равные массы дают $5a + 14b = 101$ . По остаткам при делении на 5: $14b$ даёт остаток 1, это значит, что $b$ даёт остаток 4, то есть $b = 4$ или $b = 9$ . При $b = 4$ получаем $a = 9 > 4$ , при $b = 9$ — $5a < 0$ . Решений нет.
в) Оценка. Разность — чётное число, и по б) она не 0. Разность 2 означает $5a + 14b = 100$ или $5a + 14b = 102$ . В первом случае $b$ кратно 5: $b = 0, 5, 10$ дают $a = 20, 6, -8$ . Во втором $b$ даёт остаток 3 при делении на 5: $b = 3$ даёт $a = 12$ , а $b = 8$ и $b = 13$ дают $a < 0$ . Ни один случай не подходит, значит, разность не меньше 4.
Пример: в первой кучке 3 камня по 5 кг и 6 по 14 кг — 99 кг, во второй 1 камень по 5 кг и 7 по 14 кг — 103 кг. Разность 4 кг.
Ответ: а) да; б) нет; в) 4 кг.

Что учить: от главного к редкому

Главное

Самые частые правила — учите первыми

Часто

Попадаются регулярно

Реже

Учите, когда главное уже освоено

Тренировка в формате ЕГЭ

Дано натуральное число. Можно либо вычесть из него утроенную сумму его цифр, либо прибавить к нему утроенную сумму его цифр. При этом полученное число должно быть натуральным.
а) Можно ли с помощью таких операций из числа 128 получить число 29?
б) Можно ли с помощью таких операций из числа 128 получить число 31?
в) Какое наименьшее натуральное число можно получить из 128 с помощью таких операций?

Решение

а) Да. Цепочка ходов: сумма цифр 128 равна 11, $128 - 3 \cdot 11 = 95$ . Сумма цифр 95 равна 14, $95 - 3 \cdot 14 = 53$ . Сумма цифр 53 равна 8, $53 - 3 \cdot 8 = 29$ . Каждое число натуральное.

б) Нет. При каждом ходе к числу прибавляют или из него вычитают $3S$ , где $S$ — сумма цифр. $3S$ делится на 3, поэтому остаток числа при делении на 3 не меняется.

$128 = 3 \cdot 42 + 2$ : остаток 2, и все числа, полученные из 128, дают остаток 2. $31 = 3 \cdot 10 + 1$ : остаток 1. Значит, число 31 получить нельзя.

в) Оценка. Все полученные числа дают остаток 2 при делении на 3, поэтому число 1 получить нельзя. Наименьшее натуральное число с остатком 2 — это 2.

Пример. Продолжим цепочку из пункта а): $29 + 3 \cdot 11 = 62$ , $62 - 3 \cdot 8 = 38$ , $38 - 3 \cdot 11 = 5$ , $5 + 3 \cdot 5 = 20$ , $20 + 3 \cdot 2 = 26$ , $26 - 3 \cdot 8 = 2$ . Все числа натуральные.

Оценка и пример совпали: наименьшее число, которое можно получить из 128, равно 2.

Ответ: а) да; б) нет; в) 2

Источник: ФИПИ

Закрепите на настоящих заданиях №20

Решать